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{{헬이과}}
{{개소리}}

스리니바사 아이양가르 라마누잔이 심심해서 공책에 끄적인 개소리. 단순히 개소리로 끝났다면 좋았겠지만 후대의 수학자들이 뇌절을 하여 체계화시켰다. [[1+2+3+...]] 문서와 같이 보면 좆다.

== 상세 ==
=== 1-2+3-4+⋯={{수직분수|1|4}} ===
일단 1-2+3-4+⋯부터 시작하자. 다음 무현등비급수가 성립함은 잘 알려져 있다.

{{수학|1+''x''+''x''2+''x''3+⋯{{=}}{{수직분수|1|1-''x''}}({{!}}''x''{{!}}<1)}}

위에서 {{수학|{{!}}''x''{{!}}<1}}이 붙는 이유는 {{수학|{{!}}''x''{{!}}≥1}}일 때 식이 발산하기 때문이다. 쨌든 {{수학|''x''}}에 {{수학|-''x''}}를 대입하면 다음과 같이 된다.

{{수학|1-''x''+''x''2-''x''3+⋯{{=}}{{수직분수|1|1+''x''}} ({{!}}''x''{{!}}<1)}}

미분하면

{{수학|-1+2''x''2-3''x''3+⋯{{=}}{{수직분수|-1|(1+''x'')2}} ({{!}}''x''{{!}}<1)}}

양변에 -1을 곱하면

{{수학|1-2''x''2+3''x''3-⋯{{=}}{{수직분수|1|(1+''x'')2}} ({{!}}''x''{{!}}<1)}}

여기에서 x가 1일때의 좌극한을 구해보자. 극한이 아닌 좌극한인 이유는 {{수학|{{!}}''x''{{!}}<1}}이기 때문이다.

{{수학|lim''x''→1- 1-2''x''2+3''x''3-⋯{{=}}lim''x''→1- {{수직분수|1|(1+''x'')2}}}}

계산하면 존나 개같게도

{{수학|1-2+3-⋯{{=}}{{수직분수|1|4}} (ℜ)}}

이 성립한다. 와 씨발

사실 이 값은 ''x''가 1일 때의 극한값이 없어서 정의되지 않지만 그냥 정의된다고 친 것이다

또한 요리의 완성은 플레이팅, 즉 꾸미기인 거 처럼 마지막에 (ℜ)을 추가해 식을 완성시켰다

농담이고 이 식은 상식과 동떨어진 라마누잔의 개소리라고 알려주기 위해 ℜ을 추가한 거다. 귀찮으면 생략해도 된다.

=== 1+2+3+4+⋯=-{{수직분수|1|12}} ===
{{수학|''c''{{=}}1+2+3+⋯}}라 하자. 그러면 {{수학|4''c''{{=}}4+8+12+⋯}}이다. 그리고 이 두 식을 적절하게 빼면

{{수학|-3''c''{{=}}1-2+3+⋯}}

이 되고 이 값은 위에서 구했듯이 {{수직분수|1|4}}이다. 그러므로 다음이 성립한다.

{{수학|''c''{{=}}-{{수직분수|1|12}}}}

근데 {{수학|''c''{{=}}1+2+3+⋯}}라 정했으므로

{{수학|1+2+3+⋯{{=}}-{{수직분수|1|12}} (ℜ)}}

=== guitar ===
{{수학|1-''x''+''x''2-''x''3+⋯{{=}}{{수직분수|1|1+''x''}}}}를 적절히 변형시키고 ''x''에 꼴리는 수 아무거나 넣으면 라마누잔 합이 된다.

== 그래서 라마누잔 합은 무슨 의미일까 ==
그 어떤 의미도 없다

단순한 숫자 놀음에 불과하고 발산하는 식을 수렴한다고 급식충인 것 마냥 억지부리는 거다.

== 일반화 비슷한 거 ==
라마누잔 합은 제타 함수로 나타낼 수 있다. 다음 함수를 제타함수라고 한다.

{{수학|ζ(''x''){{=}}<big>Σ</big>''n''{{=}}1∞{{수직분수|1|''nx''}}}}

여기에에 ''x''=-1을 대입하면 다음과 같다

{{수학|ζ(1){{=}}1+2+3-⋯{{=}}-{{수직분수|1|12}}}}

물론 여전히 의미 없는 숫자 놀음이다.

[[분류:수학]]

라마누잔합 - 편집 역사

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