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<br />
[[파일:수학B형_140630.JPG|700px]]<br />
==개요==<br />
2014학년도 6월 평가원 모의고사 수학 가형 30번 문항이다.<br />
<br />
==문제 분석==<br />
뭔가 문자가 굉장히 많은데 하나씩 분석을 해보자.<br />
<br />
y= x<sup>2</sup>+x <br />
<br />
이건 그냥 관계식일 것이고 뭔갈 대입하는 용도일 것이다.<br />
<br />
s, t (0<s<t) / (s,t)가 나타내는 곡선... 어쩌고<br />
<br />
곡선이라고 한다. 아마 상수는 아닐 것이다 라고 생각을 하자.<br />
<br />
...둘러쌓인 넓이가 k가 되도록...<br />
<br />
여기서 k가 상수란걸 눈치를 못까면 상당히 곤란하다. k가 뭔진 모르겠지만 넓이를 k가 되도록 임의로 상황을 설정한다는 뉘앙스를 파악해야한다.<br />
<br />
<br />
이후엔 곡선 C와 (1,0)사이의 거리가 최소인 경우 x좌표가 {{수직분수|2|3}}라고 한다. 이는 s값을 미리 알려준 것이나 마찬가지다.<br />
<br />
결국 우리는 주어진 곡선 C 위의 (s, t)에 대해서 s = {{수직분수|2|3}}일 때의 t값을 구하고 그에 대응하는 k값을 구해야 함을 알 수 있다.<br />
<br />
그리고 s = {{수직분수|2|3}}인 조건은 거리가 최소, 즉 거리함수의 도함수가 0인 지점을 말하니까 점과 곡선사이의 거리를 식으로 표현한 후 미분을 해서 등식을 얻어내야 한다.<br />
<br />
==풀이==<br />
===Phase 1===<br />
<br />
먼저 변수끼리의 관계식을 최대한 많이 구해내서 단서를 얻어보도록 하자.<br />
<br />
우선 넓이가 k가 되도록 하는 넓이 등식을 세워봄직 하다.<br />
<br />
넓이를 구하려고 노가다를 하다보면, (걍 무식하게 y = x<sup>2</sup> + x 를 0에서 t까지 적분한거에서 0에서 s까지 적분한 것을 빼주면 된다.)<br />
<br />
k = {{수직분수|6}}(t<sup>3</sup> - s<sup>3</sup>) ---(1) 이다. <ref>걍 2차함수와 직선 사이의 넓이 공식 {{수직분수|6}}(β-α)<sup>3</sup> (α, β는 두 교점의 x좌표이고 β > α ) 을 이용해도 된다. 증명은 알아서 해봐라.</ref><br />
<br />
여기서 k는 상수이므로 여기서 우리는 임의의 실수 s에 대해 t가 유일하게 고정됨을 알 수 있다. <br />
<br />
<br />
근데 우리는 s에 대한 t의 관계식을 얻어내야하므로 식을 더 구해야한다. 아까 살펴보았듯이 거리식을 세워보자.<br />
<br />
점 (1, 0)과 곡선 C (s, t)의 거리 공식은 {{제곱근|{(s - 1)<sup>2</sup> + t<sup>2</sup>}} 이다.<br />
<br />
근데 어차피 거리 값 자체는 우리에겐 불필요한 값이고, 루트 함수의 최대 최소는 루트 내부의 함수의 최대최소와 같으므로 루트 내부의 식만 따로 따져도 충분하다.<br />
<br />
루트 내부의 식 = (s - 1)<sup>2</sup> + t<sup>2</sup> ---(2) 이다.<br />
<br />
===Phase 2===<br />
<br />
상수를 지워버리기 위해서 (1)식과 (2)식을 s에 대해서 미분한 후 연립하도록 하자.<br />
<br />
각각 미분하면<br />
<br />
[[파일:수학B형140630-1.JPG]]<br />
<br />
여기서 미지수(미지의 값)은 s, t, {{수직분수|dt|ds}} 3개이다. 이 상황에서 우리는 현재 s = {{수직분수|2|3}}임을 알고, 식이 두개가 있으니, 미지수 두개, 식 두개로 모든 값을 알아낼 수 있다.<br />
<br />
<br />
싹다 연립하면 {{수직분수|dt|ds}} = {{수직분수|4|9}} 고, t = {{수직분수|4|3}}이 나온다.<br />
<br />
<br />
이제 마지막으로 k를 구해보자. s = {{수직분수|2|3}}, t = {{수직분수|4|3}}을 (1)식에 넣기만 하면 끝이다.<br />
<br />
k = {{수직분수|1|6}}{ ({{수직분수|4|3}})<sup>3</sup> - ({{수직분수|2|3}})<sup>3</sup> } = {{수직분수|28|81}} <br />
<br />
따라서 p + q = 109 이다.<br />
<br />
==평가==<br />
<br />
문자 울렁증 있는애들을 참교육하는 문제가 아니었나 싶다.<br />
<br />
문자가 많이 나오면 일단 많은 애들이 손부터 놓는 경향이 강하다. 정신차리고 문자 하나하나가 뭔 의미를 갖는지를 생각하자.<br />
<br />
일단 이런류의 문제가 낯선 애들에게는 좀 이해하기 까다로울 뿐이지 계산이 막 복잡한것도 아니고 많지도 않아서 적절한 문제였다고 생각한다.<br />
<br />
{{각주}}</div>NovaAdmin