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수학 가형 141129 - 편집 역사
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NovaAdmin: DCWiki 복구: 최신본 이식
2026-01-08T09:03:45Z
<p>DCWiki 복구: 최신본 이식</p>
<p><b>새 문서</b></p><div>{{클라스}}<br />
{{이해 어려움}}<br />
{{고인}}<br />
<br />
[[파일:수학가형_141129.JPG|800px]]<br />
==개요==<br />
2014학년도 대학수학능력시험 수학 B형 29번 문항이다.<br />
<br />
크고 아름답기로 유명한 문제다. 2014학년도 입시의 피날레.<br />
<br />
원래 어차피 교육과정에서 빠진 공간벡터문제는 작성 안하려고 했는데 그래도 이과인의 피를 끓어오르게 하는 이 문제를 보고 마음을 바꿨다.<br />
<br />
까고보면 그렇게 많이 어려운 문제는 아니지만, 처음보는 사람들에게는 (특히 비주얼적으로) 충분히 압박감을 줄 수 있는 문제이다.<br />
<br />
==문제 분석==<br />
좌표공간에서 구 x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> = 4 위를 움직이는 두 점 P, Q가 있다.<br />
동점 두개짜리 문제다 긴장해야한다. <br />
두 점 P, Q에서 평면 ... 에 내린 수선의 발을 각각... 어쩌고<br />
미지의 동점을 또 좆같은... 한개도 아니고 여러 평면에 꼬라박아야 한다. 한숨만 푹푹 나온다.<br />
<br />
{{희망}}<br />
이때, [[파일:수학가형_141129_1.jpeg|200px]]의 최댓값을 구하시오.<br />
근데 여기서 뭔가 희망이 보인다... 원래 좆같게하려면 벡터끼리의 내적에서 최대최소를 구하라고 따졌을텐데, <br />
<br />
여기서는 벡터와 정사영벡터의 절댓값의 사칙연산으로 이뤄진 식의 최대최소를 구하라고 하였다...<br />
<br />
어차피 정사영벡터의 크기는 원래 벡터의 크기에 코사인만 곱한 값 아니던가? 그렇다면 잘하면 PQ벡터의 절댓값으로 다 묶어버리고 어떤 연산을 시도할 가능성이 생길 것 같기도 하다.<br />
<br />
==풀이==<br />
===Phase1===<br />
알다시피 벡터의 핵심은 크기와 방향을 갖는다는 것이다. 다시말해 크기와 방향을 갖기만 하면 시점은 아무래도 좋다는 것이다.<br />
<br />
PQ벡터의 크기가 지름 4를 못넘는건 아까 확인했다. <br />
<br />
사실 여기서 시점을 원점 O로 바꿔서 PQ벡터 = OT벡터라는 새로운 벡터로 치환해도 별 상관 없다.<br />
<br />
그럼 상황은 대충 다음과 같다.<br />
<br />
[[파일:수학가형141129-1.JPG|700px]]<br />
<br />
즉, 치환된 OT벡터의 점 T는 반지름이 4인 구 '''안에''' 있는 점이라고 봐도 무방하다.<br />
<br />
PQ벡터와 평면 y = 4의 법선벡터가 이루는 각을 θ1, PQ벡터와 평면 y + √3z + 8 = 0의 법선벡터가 이루는 각을 θ2라고 하면,<br />
<br />
직선과 평면의 관계에 의해서, 각 정사영 벡터 P1Q1, P2Q2와 PQ벡터가 이루는 각은 90 - θ1, 90 - θ2이므로<br />
<br />
P1Q1벡터의 크기와 벡터 P2Q2의 크기는 다음과 같다.<br />
<br />
[[파일:수학가형141129-2.JPG|200px]]<br />
<br />
따라서 구하고자 하는 식을 정리하면 다음과 같다.<br />
<br />
[[파일:수학가형141129-3.JPG|600px]]<br />
<br />
===Phase2===<br />
<br />
OT벡터 = (a, b, c)라고 하자.<br />
<br />
OT벡터의 크기는 4보다 작으므로 a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> ≤ 16 이다.<br />
<br />
OT벡터의 위치벡터도 설정했으니, 주어진 식의 값들은 대입해서 찾아보도록 하자.<br />
<br />
|OT벡터|<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup><br />
<br />
cos θ1 = {{수직분수|(a, b, c)·(0, 1, 0)|({{수학|{{제곱근|a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>}})×1}}}}<br>(θ1은 OT벡터와 y = 4의 법선벡터가 이루는 각이다.)<br />
<br />
cos θ2 = {{수직분수|(a, b, c)·(0, 1, √3)|({{수학|{{제곱근|a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>}}}})×{{수학|{{제곱근|4}}}}}}<br>(θ2은 OT벡터와 y + √3z = 0의 법선벡터가 이루는 각이다.)<br />
<br />
모두 주어진식에 대입하고 정리하면, 우리가 최종적으로 최댓값을 따져야할 식은<br />
<br />
{{수직분수|1|4}}( 5b<sup>2</sup> + 3c<sup>2</sup> + 2√3bc )가 된다.<br />
<br />
===Phase 3===<br />
<br />
별에 별 지랄을 거쳐서 이제 {{수직분수|1|4}}( 5b<sup>2</sup> + 3c<sup>2</sup> + 2√3bc )의 최댓값을 따지면 된다는 것까지 알았다.<br />
<br />
여기서 최댓값을 따질 때 여러가지 방법이 있다.<br />
<br />
====코시-슈바르츠 부등식====<br />
<br />
a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> ≤ 16 일때,<br />
<br />
{{수직분수|1|4}}( 5b<sup>2</sup> + 3c<sup>2</sup> + 2√3bc )을 구하는게 문제다.<br />
<br />
일단 a는 주어진 식에서 아무런 기능을 못하고, 최댓값이 되기 위해선 b, c에게 최대한 스칼라값을 몰아주는게 좋으므로.<br />
<br />
a = 0 일때, 준식이 최댓값이 될 수 있다.<br />
<br />
준식을 보니까 좀 완전제곱식 스멜이 나고 고쳐보고 싶다. 근데 b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>의 정보가 주어져있으므로 이걸 살려야한다.<br />
<br />
이걸 고려해서 변형하다보면,<br />
<br />
{{수직분수|1|4}}{ 2( b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>) + 3b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> + 2√3bc }<br />
<br />
= {{수직분수|1|4}}{ 2( b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>) + (√3b + c)<sup>2</sup> }<br />
<br />
로 고쳐볼 수 있다.<br />
<br />
b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>의 최댓값은 a = 0 일때, 16이 되고,<br />
<br />
(√3b + c)<sup>2</sup>의 경우에는 코시-슈바르츠 절대부등식에 따라서<ref>a, b, x, y가 실수 일때 (a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>)(x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>)≥(ax + by)<sup>2</sup>을 만족 (등호 성립 조건은 {{수직분수|x|a}} = {{수직분수|y|b}})</ref><br />
<br />
( (√3)<sup>2</sup> + (1)<sup>2</sup> )(b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>)≥(√3b + c)<sup>2</sup><br />
<br />
을 만족하므로<br />
<br />
(√3b + c)<sup>2</sup>의 최댓값은 4×16 = 64가 된다.<br />
<br />
따라서 주어진 식 ≤ {{수직분수|4}}×(2×16 + 64) 이므로<br />
<br />
답은 24가 된다.<br />
<br />
====연립방정식의 실근 존재 조건====<br />
a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> ≤ 16 일때,<br />
<br />
{{수직분수|1|4}}( 5b<sup>2</sup> + 3c<sup>2</sup> + 2√3bc )을 구하는게 문제다.<br />
<br />
일단 a는 주어진 식에서 아무런 기능을 못하고, 최댓값이 되기 위해선 b, c에게 최대한 스칼라값을 몰아주는게 좋으므로.<br />
<br />
a = 0, b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> = 16일 때, 준식이 최댓값이 될 수 있다.<br />
<br />
따라서 다시 정리하면<br />
<br />
b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> = 16 '''... (1)'''<br />
<br />
{{수직분수|1|4}}( 5b<sup>2</sup> + 3c<sup>2</sup> + 2√3bc ) = k '''... (2)'''<br />
<br />
일때, k의 최댓값을 구하는 문제라고 볼 수 있다.<br />
<br />
두 방정식을 연립해야하는데, 인수분해가 되는 것도 아니고 2차항을 한번에 다 날리는 것도 불가능하다.<br />
<br />
뭐 이도저도 방법이 없으니까 b,c를 변수, k를 상수로 본 후, 상수항 소거법을 시도해보자.<br />
<br />
(2)×16 - (1)×k 를 하면<br />
<br />
(20 - k)b<sup>2</sup> + 8√3bc + (12 - k)c<sup>2</sup> = 0이 나온다.<br />
<br />
위의 식을 b에 대한 2차식으로 본다고 하자. (c에 대한 2차식으로 봐도 상관 없다. )<br />
<br />
b, c 모두 실근이 존재하므로, b에대한 판별식 또한 0보다 크거나 같아야 할 것이다.<br />
<br />
판별식을 D라고 할때,<br />
<br />
D/4 = c<sup>2</sup>( - k<sup>2</sup> + 32k - 192 ) ≥ 0<br />
<br />
c<sup>2</sup> ≥ 0 이므로, k<sup>2</sup> - 32k + 192 ≤ 0 이다.<br />
<br />
즉, 우리는 b, c의 실근이 존재하기 위한 k의 범위를 구해낸 것이다. 결국 여기서 k의 최댓값이 우리가 구하고자하는 식의 최댓값과 같다.<br />
<br />
k<sup>2</sup> - 32k + 192 = (k - 8)(k - 24) ≤ 0<br />
<br />
8 ≤ k ≤ 24이므로, k의 최댓값은 24가 된다.<br />
<br />
따라서 답은 24다.<br />
<br />
====원 위의 점으로 보기====<br />
a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> ≤ 16 일때,<br />
<br />
{{수직분수|1|4}}( 5b<sup>2</sup> + 3c<sup>2</sup> + 2√3bc )을 구하는게 문제다.<br />
<br />
일단 a는 주어진 식에서 아무런 기능을 못하고, 최댓값이 되기 위해선 b, c에게 최대한 스칼라값을 몰아주는게 좋으므로.<br />
<br />
a = 0, b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> = 16일 때, 준식이 최댓값이 될 수 있다.<br />
<br />
근데 여기서 b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup> = 16 을 유심히 봤더니, 뭔가 원을 닮은 느낌을 쌔하게 받을 수 있다.<br />
<br />
이것만 알아차렸다면 임의의 각, θ에 대해서 b = 4cos θ, c = 4sin θ 로 놓고 풀어도 상관이 없다.<br />
<br />
구하고자 했던 식에 b = 4cos θ, c = 4sin θ 를 모두 대입하면,<br />
<br />
{{수직분수|1|4}}( 80cos<sup>2</sup>θ + 48sin<sup>2</sup>θ + 32√3cosθsinθ )<br />
<br />
= 8( cos<sup>2</sup>θ + √3cosθsinθ ) + 12 이다.<br />
<br />
제곱꼴이 좀 역겨우니까 배각공식, 반각공식에 따라서 각을 2θ로 통일시켜보자. 정리하면<br />
<br />
8({{수직분수|cos2θ + 1|2}} + {{수직분수|√3sin2θ|2}}) + 12<br />
<br />
= 4cos2θ + 4√3sin2θ + 16 이다.<br />
<br />
삼각함수를 합성하면, 4cos2θ + 4√3sin2θ = 8sin(2θ + a)이고 <ref>a는 굳이 구할 필욘 없지만, 구하고 싶다면 알아서 구해봐라. 일단 a = {{수직분수|π|6}}이다.</ref><br />
<br />
따라서 우리가 최댓값을 구해야 하는 식은<br />
<br />
8sin(2θ + a) + 16 임을 알 수 있다.<br />
<br />
최댓값은 24이므로 답은 24가 된다.<br />
<br />
==평가==<br />
{{틀딱}}<br />
어차피 이제 교육과정 개정되서 기하와 벡터가 아니라 기하가 되어버렸다 ^^ 진성이과는 하루빨리 미적분으로 탈출하기를 권장한다. <br />
<br />
<br />
{{각주}}</div>
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