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DCWiki 복구: 최신본 이식

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{{적절}}
{{이해 어려움}}
[[파일:수학가형_150630.jpg|700px]]

==개요==
2015학년도 6월 평가원 모의고사 수학 B형 30번 문항이다.

==문제 분석==
===f(x)에 대해서===
f(x)는 미분가능한 것 말고는 아무것도 모르는 미지의 함수이다... 그리고 조건이 주렁주렁 달려있는데 저걸로 구해야하나보다.
===구하라는 값===
우리는 f(x)의 식을 완벽하게 알아내서 3부터 6까지 정적분을 때려야하나보다.

열심히 알아보자.

===조건 해석===
====(가) 조건 해석====
모든 실수 x에 대해서 1 ≤ f'(x) ≤ 3라고 한다.

일단 f(x)가 증가함수인건 알겠다. 근데 부등식 조건이라 먼저 건들여볼만한 조건은 아닌 것 같다.

등식조건이 좋잖아? 쑤셔 박으면 반응이 바로 오는 등식 조건이 ㅇㅇ

====(나) 조건 해석====
모든 정수 n에 대하여 점 (4n, 8n), 점 (4n + 1, 8n + 2) 점 (4n + 2, 8n + 5) 점 (4n + 3, 8n + 7)을 모두 '''지난다'''고 한다.

다른건 다 좆까고, 점을 지나? 우리가 찾던 등식 조건이다. 아까 적분구간이 3~6 이었으니까 x = 3, 4, 5, 6까지는 점을 구해보자.

적당히 각 점에 n에 0과 1을 대입해서 구하다 보면 (3, 7), (4, 8), (5, 10), (6, 13), 네 개의 점을 f(x)가 지남을 알 수 있다.
====(다) 조건 해석====
모든 정수 k에 대해서 닫힌 구간 [2k, 2k + 1]에서 f(x)가 이차함수

우리가 구해야하는 f(x)의 정의역 중 저 조건이 겹치는 부분은 닫힌 구간 [4, 5] 뿐 이다.

근데 임의의 이차함수 (ax2 + bx + c) 하나를 완벽하게 결정하는데 필요한 등식 개수는 3개이다.

근데 우리는 이미 f(4) = 8, f(5) = 10 임을 아니까, 이차함수의 미지수를 적어도 한개까진 줄여볼 수 있겠다.

==풀이==
===Phase 1===
일단 (다) 조건에서 알아낸 것들을 마무리부터 해보자.

닫힌 구간 [4, 5]에서 f(x)는 이차함수의 개형을 띤다고 한다.

그 이차함수를 임의로 p(x)라고 하자, <ref>f(x) 자체는 이차함수가 아니므로 특정 구간에서 이차함수 p(x)의 개형을 빌려오는 것이다. 그래서 따로 p(x)를 정의하는 것이다.</ref>

p(x) = ax2 + bx + c 라고 하고, p(4) = 8, p(5) = 10 을 대입하자.

16a + 4b + c = 8, 25a + 5b + c = 10 이고

b, c를 a에 대해서 정리하면

b = 2 - 9a, c = 20a 이다.

따라서 p(x) = ax2 + (2 - 9a)x + 20a 이다.

===Phase 2===
일단 닫힌 구간 [4, 5]에서 얻을만한 f(x)의 조건은 다 구한 것 같다.

나머지 구간에서도 좀 살펴보도록 하자.

우선 닫힌 구간 [3, 4]에서 따져보자. 주어진 조건은

1) f(x)는 미분가능하다. 
2) 1 ≤ f'(x) ≤ 3 
3) f(3) = 7, f(4) = 8

이 정도인데... 어찌되었건 미분계수와 관련된 조건이 여러개 주어졌다.

뭔가 기울기 어쩌고 느낌이니까 여기서 잠시 닫힌 구간 [3, 4]에서의 f(x)의 평균변화율이라도 구해보자.

{{수직분수|f(4) - f(3)|4 - 3}} = 1

놀랍게도 f'(x)의 최솟값이 툭 튀어나왔다...

f(x)는 미분가능한 함수이므로, 평균값 정리에 따라서

{{수직분수|f(4) - f(3)|4 - 3}} = 1 = f'(a1) 을 만족하는 a1이 (3 < a1 < 4)에 적어도 하나 존재한다.

여기서 가능한 케이스를 하나씩 따져보자.

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'''(A)''' f(x)가 닫힌 구간 [3, 4]에서 위로 볼록인 경우... f"(x) < 0

f'(a1) = 1일때, f"(x) < 0 이므로 f'(x)가 a1 < x < 4에서 감소한다.

f'(c) < 1인 c가 존재하게 되므로, "1 ≤ f'(x) ≤ 3" 조건에 위배된다. 고로 '''모순'''.

'''(B)''' f(x)가 닫힌 구간 [3, 4]에서 아래로 볼록인 경우... f"(x) > 0

f'(a1) = 1일때, f"(x) > 0 이므로 f'(x)가 3 < x < a1에서 증가한다.

f'(c) < 1인 c가 존재하게 되므로, "1 ≤ f'(x) ≤ 3" 조건에 위배된다. 고로 '''모순'''.

'''(C)''' f(x)가 닫힌 구간 [3, 4]에서 직선인 경우... f"(x) = 0

f(x)가 직선인 경우에는 위의 조건을 모두 만족한다.

따라서 f(x)는 닫힌 구간 [3, 4]에서 기울기가 1인 직선이다.

이젠 닫힌 구간 [5, 6]도 한번 조사해보자.

닫힌 구간 [5, 6]에서 주어진 조건은

1) f(x)는 미분가능하다. 
2) 1 ≤ f'(x) ≤ 3 
3) f(5) = 10, f(6) = 13

여기서도 닫힌 구간 [5, 6]에서의 f(x)의 평균변화율을 구해보면,

{{수직분수|f(6) - f(5)|6 - 5}} = 3

아니나 다를까 여기는 f'(x)의 최댓값이다.

위에서 적용했던 논리대로 여기서도 따져주면 여기도 기울기가 3인 일차함수임을 알 수 있다.

따라서 f(x)는 닫힌 구간 [3, 4], [5, 6]에서 직선이다.

===Phase 3===
이제 지금까지 얻은 정보를 바탕으로 실제 f(x)의 식을 구해보자.

'''1)''' f(x)는 닫힌 구간 [3, 4]에서 (3, 7)을 지나고 기울기가 1인 일차함수이다. <ref>이차함수는 등식 세개면 결정이 되듯, 일차함수는 등식 두개면 결정이 된다.</ref>

따라서 닫힌 구간 [3, 4]에서 f(x) = (x - 3) + 7 = x + 4

'''2)''' f(x)는 닫힌 구간 [5, 6]에서 (5, 10)을 지나고 기울기가 3인 일차함수이다.

따라서 닫힌 구간 [5, 6]에서 f(x) = 3(x - 5) + 10 = 3x - 5

'''3)''' f(x)는 실수 전체에서 미분 가능한 함수이다.

닫힌 구간 [4, 5]에서 f(x) = p(x) = ax2 + (2 - 9a)x + 20a

미지수가 한개이므로 등식 하나만 더 있으면 된다.

p'(x) = 2ax + 2- 9a 이고,

p'(4) = f'(4) = 1이므로,

a = 1, p(x) = x2 - 7x + 20 이다.

따라서 f(x)는 다음과 같다.

(3≤x≤4)... f(x) = x + 4 
(4≤x≤5)... f(x) = x2 - 7x + 20 
(5≤x≤6)... f(x) = 3x - 5

구하고자 하는 값을 계산하면

[[파일:수학가형_150630-2.jpg|600px]]

a = {{수직분수|167|6}}이므로 6a = 167

답은 167이다.

==평가==
격자점 찍어서 미지의 함수를 추론하는... 해괴망칙한 문제다.

문제 참 잘만들었다고 생각하는게 "ㄱ,ㄴ,ㄷ" 문항에서만 쓰이던 평균값정리를 주관식 문항에 어느정도 잘 녹여낸 문제이다.

물론 그런거 생각 안하고 대충 감으로 "직선이겠네" 하고 찍은 사람이 더 많다.

개인적으로는 평가원 성선설이 잘 드러났던 문제이다.

n에 모든 정수를 넣을 수 있다. 즉, 구간을 3부터 6까지가 아니라 뭐 50, 60까지 늘려도 할 말 없는 문제였는데 교수가 그건 너무하다 싶었나 보다. 그래서 난이도가 많이 높진 않다.

{{각주}}

수학 가형 150630 - 편집 역사

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