NovaAdmin: DCWiki 복구: 최신본 이식

2026-01-08T09:30:18Z

DCWiki 복구: 최신본 이식

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[[파일:수가171130.jpeg|700px]]
==개요==
[[2017학년도 대학수학능력시험#수학|2017학년도 대학수학능력시험 수학 가형]] 30번 문항이다. 사실 그 수능 수학 가형 시험자체는 전반적으로 많이 어려운 시험은 아니었으나, 이 문제 하나 때문에 정신나간 수능으로 기억되게 되었다.

==문제 분석==
===f(x)에 대해서===
x>a에서 정의 되어있다는 것 이외에는 모른다. 조건을 통해 유도해야할 것 같다.
===g(x)에 대해서===
최고차항 계수가 -1인 사차함수(다항함수)이다. -x4 + ... + d 의 식으로 미지수가 최대 4개까지 생성될 수 있고, 따라서 g(x)를 알기 위해서는 g에 대한 식이 4개가 필요함을 알 수 있다.
또한 다항함수는 모든 x에 대해서 연속이고 미분 가능하다.
또한 다항함수와 미분은 [[인수정리]]로 묶이는 경우가 비일비재함을 안다.

===구하라는 값===
(나)조건에서 α와 β는 x축 상의 값임을 의미함을 알 수 있다.

===조건 해석===
====(가) 조건 해석====
g(x)는 모든 x에 대해서 미분가능하므로 당연히 (x-a)f(x)도 x>a에서 미분가능할 것이다.

====(나) 조건 해석====
f(α)=f(β)=M, f'(α)=f'(β)=0 이다.

====(다) 조건 해석====
f(x)와 g(x)의 극값에 대해 논의하고 있으므로 f(x)와 g(x)를 미분할 필요가 있을 것 같다.

하지만, f나 g나 식을 아는 것이 하나도 없으므로 지금 당장 쓸 조건은 아닌 것 같다.

==풀이==
===Phase 1===
(나) 조건에 따라 구체적인 등식이 주어진 것은 f(x)이다. f(x)가 인수정리의 스멜이 나므로 함수값과 미분계수를 모두 0으로 맞춰보도록 하자. (단 f 자체는 다항식이 아니라서 인수정리는 못한다.)

h(x) = f(x) - M 라고 하면 h(α)=h(β)=0, h'(α)=h'(β)=0 이 성립한다.

이제 (가) 조건을 h(x)에 대해서 정리하면

h(x)={{수직분수|{g(x) - M(x - a)}|x-a}}

인수정리를 들어가기 위해서 다항식만 존재하는 항인

g(x) - M(x -a) = i(x)로 재정의 하자.

i(x) = h(x)(x-a)이므로 미분 시, i(α)=i(β)=0, i'(α)=i'(β)=0임을 얻는다.

여기서 i(x)는 다항함수이므로, 인수정리에 따라서

i(x) = -(x-α)2(x-β)2임을 알 수 있다. (최고차항계수는 g(x)의 최고차항 계수를 따른다.)

따라서 4차함수 g(x) = -(x-α)2(x-β)2 + M(x-a) 임을 얻는다.

===Phase2===
(가), (나) 조건으로부터 g(x)의 식을 최대한 이끌어 내었으므로 이제 (다)조건을 해석하도록 하자.

f'(x)= {{수직분수|{(x-a)g'(x) - g(x)}|x-a}} 이고, f의 도함수가 0인 지점을 조사하면 되므로, f'(x)의 분자 = j(x)로 둔다면

j(x) = (x-a)g'(x) - g(x) 이고 이때 j(x)는 최고차항 계수가 -3인 4차함수이다.

f(x)의 극점의 개수는 j(x)의 근을 조사해보면 판정이 가능하다. j(α)= j(β) =0 이고, 최고차항 계수가 음수인 사차함수의 개형과 극댓값이 두개 존재한다는 사실을 고려했을 때 그림을 그려보면,

[[파일:수가171130-1.png|700px]]

여기서 그림과 같이 극댓값의 성질과 사이값 정리에 따라 α와 β 사이에는 반드시 γ라는 j(x)의 근이 생기고, α보다 작은 δ라는 근도 생길 수 밖에 없다.

정의역이 (x>a)였으므로 이제 δ가 a보다 크냐 작냐에 따라서 f(x)의 극점의 개수가 정해지는데

[[파일:수가171130-2.png|700px]]

그림과 같이 δ는 a보다 작고 정의역을 벗어났다. 따라서 f(x)의 극점의 개수는 3개이고, g(x)의 극점의 개수는 2개 이하가 되어야 한다.

g'(x) = -4x(x-α)(x-β){x-{{수직분수|(α+β)|2}}}+M이므로 g'(x)의 근의 개수는 M (M>0)에 의해서 결정된다.

사실상 이제부터는 대칭이동 문제이므로 β-α = 6√3을 만족하는 모든 g'(x)에 대해서 만족한다고 봐도 좋다. 계산 상의 편의를 위해 α=-3√3, β=3√3이라고 하면,

g'(x) = -4x(x+3√3)(x-3√3) + M이고 대충 알아서 미분해서 개형 그려보면 원점 대칭 삼차함수이므로 |극소값| 이상만큼 그래프를 들어올려서 x축과 최소한 접하게라도 만들어야 근의 개수가 두개 이하인 한개로 (다) 조건을 만족시킬 수 있음을 알 수가 있다.

(M>0), |극소값|=g'(3)=216 이다. 따라서 M≥216이고 M의 최소값은 216이 된다.

==평가==
주어진 미지의 함수의 함수값=0 미분계수=0 조건을 보고서 최대한 이를 살리면서 인수정리를 위해 다항함수 g(x)와 잘 엮이도록 중간중간 적절한 함수를 세팅해주는 것이 포인트였던 문제이다.

수학 가형 범위니까 미적분2 문제일텐데도 불구하고 분수 미분이나 곱의 미분법 말고는 문과수학 범위인 미적분1의 내용이 주를 이루었고 초월함수가 나오지 않았다는 점이 특이하다. 간단한 공식만 알려주면 문과생도 도전할 수 있는 문제이다.

수학 가형 171130 - 편집 역사

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