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수학 가형 190619 - 편집 역사
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NovaAdmin: DCWiki 복구: 최신본 이식
2026-01-08T09:30:18Z
<p>DCWiki 복구: 최신본 이식</p>
<p><b>새 문서</b></p><div>{{어려운 게임}}<br />
[[파일:수학가형_190619.jpg|700px]]<br />
==개요==<br />
[[6월 평가원 모의고사#2019 6월 모의고사(2018.06.07.)|2019학년도 6월 평가원 모의고사]] 수학 가형 19번 문항이다.<br />
<br />
전통적인 킬러배치 번호인 21, 29, 30번대 문제가 아님에도 불구하고 난이도가 높게 나온 문제이다. 때문에 정답률이 매우 낮다.<br />
<br />
29번 30번은 또 쉽게 나왔던 시험이라, 사실상 이 문제가 [[힘숨찐|眞킬러]] 아니냐는 소리가 많았다.<br />
<br />
==문제 분석==<br />
0이 아닌 실수 p에 대하여...<br />
일단 실수 p는 0이 아니라고 한다. ㅇㅇ 그래 시발<br />
<br />
두 포물선 x<sup>2</sup> = 2y와 (y + {{수직분수|2}})<sup>2</sup> = 4px에 동시에 접하는 직선의 개수를 f(p)라 하자.<br />
f(p) 어쩌고 하니까, p값에 따라서 동시에 접하는 직선의 개수가 달라지는 것 같다. 그리고 우리는 그걸 관찰 해야하고<br />
<br />
마지막에 구하라는건 f(p)의 우극한 값을 f(k)보다 크도록 하라는 건데, p값에 따라 동시에 접하는 직선의 개수를 관찰하면서 f(p)의 개형을 알아내는 것이 우리의 과제가 될 것같다.<br />
<br />
==풀이==<br />
===Phase 1===<br />
뭐 이 문제를 그림을 일단 그려서 푸는 사람도 있겠지만, 기하적으로 고정적이고 이차곡선의 정의를 활용하기 유리한 문제가 아니고서야 그냥 수식으로 푸는게 정신건강에도 덜 해롭다. 그리고 이거 생각보다 시험장에서 중요한 마인드다.<br />
<br />
동시에 접하는 직선의 개수라니까 헷갈릴지 모르겠는데 어찌되었건 뭔가의 접선이라는거다. 즉 한 곡선을 정하고 접선의 방정식을 일단 세우는게 첫번째 과제이다.<br />
<br />
x<sup>2</sup> = 2y<br />
<br />
(y + {{수직분수|2}})<sup>2</sup> = 4px<br />
<br />
둘 중에 뭐로 접선의 방정식 세우고 싶냐? 이런 문젠데<br />
<br />
변태가 아니고서야 위에꺼 하겠지? 위에껄로 세우자.<br />
<br />
위의 식을 미분하면<br />
<br />
{{수직분수|dy|dx}} = x<br />
<br />
접점의 x좌표를 t라고하면, 접선의 방정식은<br />
<br />
y = t(x - t) + {{수직분수|2}}t<sup>2</sup><br />
<br />
y = tx - {{수직분수|2}}t<sup>2</sup>가 된다.<br />
<br />
이제 저 식을 또다른 곡선 (y + {{수직분수|2}})<sup>2</sup> = 4px과 연립해서 나온 2차식의 판별식이 0이면<ref>직선과 이차곡선의 관계는 연립한 2차식의 판별식이 0보다 크면 두점에서 만나고, 접하면 판별식이 0, 안만나면 판별식이 0보다 작다. 이정돈 기본이니까 그냥 알아둬라.</ref><br />
<br />
두 곡선에 동시에 접하는 접선의 조건이 된다. <br />
<br />
이제<br />
<br />
y = tx - {{수직분수|2}}t<sup>2</sup> ...'''(1)'''<br />
<br />
(y + {{수직분수|2}})<sup>2</sup> = 4px ...'''(2)'''<br />
<br />
이 새끼들을 연립해서 섹스해야하는데<br />
<br />
y를 소거해도 되긴 하지만, 뭔가 (y + {{수직분수|2}})<sup>2</sup>의 안에 항이 세개가 들어가서 그걸 또 전개하는 불상사보다는 그냥 x를 소거하는게 나아보인다. <br />
<br />
변태라면 y를 소거하셔도 좋다. <br />
<br />
x를 소거하기 위해서 (1)식을 x에 대한 식으로 정리하면<br />
<br />
x = {{수직분수|y|t}} + {{수직분수|2}}t 이다.<br />
<br />
냅다 (2)식에 대입하면<br />
<br />
y<sup>2</sup> + (1 - {{수직분수|4p|t}})y + {{수직분수|4}} - 2pt = 0 (단, t≠0)<br />
<br />
판별식D = 0을 세우면<br />
<br />
D : (1 - {{수직분수|4p|t}})<sup>2</sup> - 4({{수직분수|4}} - 2pt) = 0<br />
<br />
8pt - {{수직분수|8p|t}} + {{수직분수|16p<sup>2</sup>|t<sup>2</sup>}} = 0<br />
<br />
p ≠ 0이므로, 양변에 t<sup>2</sup>을 곱하고 p<sup>2</sup>을 나누면,<br />
<br />
p = - {{수직분수|2}}t<sup>3</sup> + {{수직분수|2}}t<br />
<br />
===Phase 2===<br />
y = p ...'''(1)'''<br />
<br />
y = - {{수직분수|2}}t<sup>3</sup> + {{수직분수|2}}t ...'''(2)'''<br />
<br />
에서 p값을 움직여가면서 t의 교점개수가 몇개냐를 관찰하는 것이다.<br />
<br />
여기서 t의 교점 개수가 p값에 따른 접선의 개수가 된다.<br />
<br />
(2) = g(t)라고 하고, g(t)를 t에 대해서 미분하면<br />
<br />
g'(t) = - {{수직분수|2}}(√3t + 1)(√3t - 1)<br />
<br />
이대로 그래프를 그려보면 상황은 다음과 같이 된다.<br />
<br />
[[파일:수학가형_190619-1-1.png|700px]]<br />
<br />
그래프를 관찰하면 다음과 같은 결론을 얻는다.<br />
<br />
(p > {{수직분수|3√3}}) ... f(p) = 1<br><br />
(p = {{수직분수|3√3}}) ... f(p) = 2<br><br />
(-{{수직분수|3√3}} < p < {{수직분수|3√3}}) ... f(p) = 3<br><br />
(p = - {{수직분수|3√3}}) ... f(p) = 2<br><br />
(p < - {{수직분수|3√3}}) ... f(p) = 1<br />
<br />
따라서 f(p)의 그래프는 다음과 같다.<br />
<br />
[[파일:수학가형_190619-2.png|700px]]<br />
<br />
우극한이 함수값보다 클 수 있는 경우는 - {{수직분수|3√3}} 뿐이다. 따라서 k = - {{수직분수|3√3}}이고,<br />
<br />
- {{수직분수|3√3}} = - {{수직분수|√3|9}} 이므로<br />
<br />
답은 3번이 된다.<br />
<br />
==평가==<br />
계산량이 극혐이라 시험장에서 AFK를 많이들 쳤던 문제이다.<br />
<br />
근데 어쩔 수 없다. 정면으로 부딪쳐라.<br />
<br />
이차곡선의 접선이 교육과정에서 분명히 빠졌을텐데도 표정 하나 안바꾸고 그냥 출제를 해버렸다. 걍 공부할 수 있는건 다해라.<br />
<br />
{{각주}}</div>
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