아폴로니오스 정리

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개요

Apollonius' theorem

스튜어트 정리의 하위호환이다. 스튜어트 정리에서 중선을 분할하는 형태면 아폴로니오스 정리가 된다.

헬조센과 좆본에서는 "파푸스의 중선 정리"라는 해괴망칙한 이름으로 부르고 있다.

증명

스튜어트 정리의 증명에서 분할되는 점을 변의 중점으로만 바꾸면 아폴로니오스의 정리의 증명도 되므로 그쪽 문서도 참조해보도록.

여기서는 합동을 이용한 증명을 해보겠다.

중선을 연장한 후 나머지 꼭지점에서 수선을 내린다.

이때 두 삼각형은 세 각이 같고 대응되는 변의 길이가 m으로 같으므로 RHA 합동이다.

a² = y² + (d + x)²

b² = y² + (d - x)²

두 식을 더하면

a² + b² = 2y² + 2d² + 2x²

a² + b² = 2(d² + m²)

증명 끗