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개요
페르마의 소정리는 페르마가 만들어낸 정리이다. 정수론에서 굉장히 애용되는 정리이다.
무슨 정리냐면, 소수 p와, 그 p로 나누어떨어지지 않는 자연수 a에 대하여 다음이 성립한다는 것.
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
저게 뭔 개소리냐 의문이 든다면 합동식 문서로 가라.
그니깐, 쉽게 말해서 a의 p-1제곱은 p로 나눈 나머지가 1이라는 것이다.
증명
증명은 의외로 간단하다. 오일러 정리를 쓰면 쉽게 구할 수 있는데, (기하의 그 오일러 정리(d²=R²-2Rr)하곤 다른 거다)
오일러 정리가 뭐냐 하면 또 오일러 ∮함수를 알아야 한다. 이건 오일러 ∮함수 문서로 가고.
귀찮은 놈들을 위해 설명하자면 ∮(n)은 n 이하의 자연수 중 n과 서로소인 자연수의 개수를 뜻한다.
예시로 ∮(10) = 4 이다.
그래서 오일러 정리가 뭐냐? 자연수 n과, 이 n하고 서로소인 자연수 a에 대하여 다음이 성립한다는 것이다.
a^∮(n) ≡ 1 (mod n)
저걸 또 증명하려면 완전잉여계, 기약잉여계 등의 설명이 들어가야 하므로 오일러 정리 증명은 패쓰하도록 하겠다.
근데 오일러 ∮함수 문서에서 알 수 있듯이, p가 소수이면 ∮(p) = p-1 이다.
근데 당연한 거 아닌가? p 자체가 p라는 소인수로 나누어떨어지는 첫 번째 수이므로.
쨌든, 그래서 n = p를 대입하면 저딴 꼬라지가 나온다는 것이다.
그렇게 해서 증명 완료.
근데 신기한 사실
페르마의 소정리가 오일러 정리보다 더 먼저 발견되었다. 그니깐 페르마는 이딴 방법으로 증명하지 않았을 거라는 것.
무슨 방법으로 증명했는지는 나도 존나 궁금하다. 갓페르마니뮤ㅠㅠㅠ
쓰임
여기까지는 니들도 설렁설렁 읽어왔을 가능성이 크다.
그니깐, 존나 쓸모없는 것처럼 보일 가능성이 있다는 것이다.
물론 3^100을 4로 나눈 나머지를 구하라는 문제처럼 이거 안쓰고도 존나 쉬운 것도 있을 수 있겠지만,
45^160을 53으로 나눈 나머지를 구하려고 하면 페르마 소정리를 안 쓰고는 이항전개 등 머리를 아프게 하는 방법밖에 없다.
이럴 때 페르마 소정리가 등판해주면, 답은 바로 45가 나온다는 것을 알 수 있다.
페르마 소정리와 이항전개, 중국인의 나머지 정리 등을 적당히 섞어뿌리면 2003^2002^2001의 마지막 세 자리수는? 같은 좆같은 문제도 풀 수 있다.