야코비 타원함수 문서 원본 보기

{{수학관련}}
{{장인정신}}
{{과학}}
{{정보}}

[[미분방정식]] {{수학|({{수직분수|d''y''|d''φ''}})² {{=}} (1 - ''y''²)(1 - ''my''²)}}을 풀자 그럼<br>
{{수학|''φ'' {{=}} {{적분|0|''y''}}{{수직분수|d''u''|{{제곱근||(1 - ''u''²)(1 - ''mu''²)}}}} {{루비|{{=}}|정의}} Asn ''y''}}<br>
이런 식이 나옴.<br>
그럼 이 식을 y에 관하여 쓴 {{수학|''y'' {{=}} sn ''φ''}}에서 {{수학|sn ''φ''}}을 야코비 타원함수라 하고 엄밀히 표기할 땐 {{수학|sn (''φ''{{!}}''m'')}} 이라고 씀.

그 다음 {{수학|''y'' {{=}} sin ''ϕ''}}로 쓴 뒤 저 적분에다 {{수학|''u'' {{=}} sin ''θ''}}로 치환적분을 하여<br>
 {{수학|''φ'' {{=}} {{적분|0|''ϕ''}}{{수직분수|d''θ''|{{제곱근||1 - ''m'' sin² ''θ''}}}}}}
로 놓으면서 세 가지 야코비 함수<br>
 {{수학|sn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} sin ''ϕ''}}         {{수학|({{=}} ''y'')}}
 {{수학|cn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} cos ''ϕ''}}         {{수학|({{=}} {{제곱근||1 - ''y''²}})}}
 {{수학|dn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{제곱근||1 - ''m'' sin² ''ϕ''}}  ({{=}} {{제곱근||1 - ''my''²}})}}
를 정의할 수 있다. 참고로 tan는 dn이 아니고 sc (= {{수직분수|sn|cn}})에 해당함 ㅇㅇ

위 글상자 2개의 정의를 정확하게 아는 것이 중요하지 ㅇ


그리고 이와는 별도로
*{{수학|Am (''φ''{{!}}''m'') {{=}} ''ϕ''}}
이 놈도 정의하는데 그 이유는 야코비 함수 적분할 때 이놈이 2종 [[타원적분]]하고 묶인채로 주구장창 나온다 ㅇㅇ
이걸 통해 야코비 함수들을 표현하면
:* {{수학|sn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} sin∘Am (''φ''{{!}}''m'')}}
:* {{수학|cn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} cos∘Am (''φ''{{!}}''m'')}}
:* {{수학|dn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{제곱근||1 - ''m'' sin²∘Am (''φ''{{!}}''m'')}}}}
이렇게 된다. 여기서 ∘는 함수 합성 기호를 뜻한다.

그리고 [[삼각함수]] 제곱한거를 더하면 1이 되듯이<br>
 {{수학|cn² + sn² {{=}} 1}}
 {{수학|dn² + ''m'' sn² {{=}} 1}}
 {{수학|dn² - ''m'' cn² {{=}} 1 - ''m''}}
얘들도 비슷한 공식을 가지고 있음.

그리고 타원함수가 분수로 나타날땐<br>
* {{수학|갑을 (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|갑n (''φ''{{!}}''m'')|을n (''φ''{{!}}''m'')}}}}
* {{수학|n병 (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|1|병n (''φ''{{!}}''m'')}}}}
이렇게 표기한다. 예를들면 cd = {{수직분수|cn|dn}} 이런식

== 미분공식 ==
저기 있는 적분을 {{수학|''φ''}}에 대해 미분하면<br>
{{수학|1 {{=}} {{수직분수|d''ϕ''|d''φ''}}{{수직분수|1|{{제곱근||1 - ''m'' sin² ''ϕ''}}}} {{=}} {{수직분수|d''ϕ''|d''φ''}} {{수직분수|1|dn (''φ''{{!}}''m'')}}}}이고 정리하면<br>
{{수학|{{수직분수|d''ϕ''|d''φ''}} {{=}} dn (''φ''{{!}}''m'')}}임 ㅇㅇ

이것을 써서 sn cn dn을 {{수학|{{수직분수|d|d''φ''}}}}로 미분하고 난 뒤 아까 얻은 {{수학|{{수직분수|d''ϕ''|d''φ''}}}}을 대입하면
 {{수학|{{수직분수|d|d''φ''}} sn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} cn·dn (''φ''{{!}}''m'')}}
 {{수학|{{수직분수|d|d''φ''}} cn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} -sn·dn (''φ''{{!}}''m'')}}
 {{수학|{{수직분수|d|d''φ''}} dn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} -''m'' sn·cn (''φ''{{!}}''m'')}}
하고
* {{수학|{{수직분수|d|d''φ''}} Am (''φ''{{!}}''m'') {{=}} dn (''φ''{{!}}''m'')}}
이 나옴 ㅇㅇ<br>

참고로 {{수학| cn·dn (''φ''{{!}}''m'')}}은 {{수학| cn (''φ''{{!}}''m'') × dn (''φ''{{!}}''m'')}}를 줄여서 쓴 거임

아 그리고 저 미분공식을 제곱하고 미분방정식 꼴로 표현하면<br>
 {{수학|''y'' {{=}} sn (''φ''{{!}}''m'')}}➡️{{수학|({{수직분수|d''y''|d''φ''}})² {{=}} (1 - ''y''²)(1 - ''my''²)}}
 {{수학|''y'' {{=}} cn (''φ''{{!}}''m'')}}➡️{{수학|({{수직분수|d''y''|d''φ''}})² {{=}} (1 - ''y''²)(1 - ''m'' + ''my''²)}}
 {{수학|''y'' {{=}} dn (''φ''{{!}}''m'')}}➡️{{수학|({{수직분수|d''y''|d''φ''}})² {{=}} (1 - ''y''²)(''m'' - 1 + ''y''²)}}
으로 쓸 수 있음

그리고 이 식을 미분하여 2계 편미방은
 {{수학|''y'' {{=}} sn (''φ''{{!}}''m'')}}➡️{{수학|{{수직분수|d²''y''|d''φ''²}} {{=}} - (1 + ''m'')''y'' + 2''my''³}}
 {{수학|''y'' {{=}} cn (''φ''{{!}}''m'')}}➡️{{수학|{{수직분수|d²''y''|d''φ''²}} {{=}} (2''m'' - 1)''y'' - 2''my''³}}
 {{수학|''y'' {{=}} dn (''φ''{{!}}''m'')}}➡️{{수학|{{수직분수|d²''y''|d''φ''²}} {{=}} (2 - ''m'')''y'' - 2''y''³}}
임을 알 수 있다.

== 정의역이 허수면 어떻게 되냐? ==
cn에 대한 미분방정식인<br>
{{수학|''y'' {{=}} cn (''x''{{!}}''m'')}}➡️{{수학|({{수직분수|d''y''|d''x''}})² {{=}} (1 - ''y''²)(1 - ''m'' + ''my''²)}} (변수를 x로 잠시 바꿈)<br>
에다 {{수학|''x'' {{=}} ''iφ''}}를 대입하여<br>
{{수학|''y'' {{=}} cn (''iφ''{{!}}''m'')}}<br>
➡️{{수학|({{수직분수|d''y''|d''iφ''}})² {{=}} (1 - ''y''²)(1 - ''m'' + ''my''²)}}<br>
➡️{{수학|({{수직분수|d''y''|d''φ''}})² {{=}} (''y''² - 1)(1 - ''m'' + ''my''²)}} (허수단위 꺼내고 양변에 -1 곱함)<br>
➡️{{수학|({{수직분수|1|y²}}{{수직분수|d''y''|d''φ''}})² {{=}} {{수직분수|''y''² - 1|y²}}ㆍ{{수직분수|1 - ''m'' + ''my''²|y²}}}} (양변을 y⁴로 나눔)<br>
➡️{{수학|({{수직분수|d|d''φ''}} {{수직분수|1|''y''}})² {{=}} (1 - {{수직분수|1|''y''²}})(''m'' + {{수직분수|1 - ''m''|''y''²}})}} 으로 바꿀 수 있음

그럼 이 방정식 해가<br>
{{수학|{{수직분수|1|''y''}} {{=}} cn (''φ'' + ''φ''{{아래첨자|0}}{{!}}1 - ''m'')}}으로 나오는데 여기서 {{수학|''φ'' {{=}} 0}}을 대입하면 cn(iㆍ0|m)=cn(0|m)=1임에 따라 {{수학|1 {{=}} cn (''φ''{{아래첨자|0}}{{!}}1 - ''m'')}}이니 {{수학|''φ''{{아래첨자|0}} {{=}} 0}}임

따라서 {{수학|cn (''iφ''{{!}}''m'') {{=}} nc (''φ''{{!}}1 - ''m'')}}이고 이 식을 sn cn dn 제곱관계식에다 넣어 sn dn도 유도하고 정리하면
 {{수학|sn (''iφ''{{!}}''m'') {{=}} ''i'' sc (''φ''{{!}}1 - ''m'')}}
 {{수학|cn (''iφ''{{!}}''m'') {{=}} nc (''φ''{{!}}1 - ''m'')}}
 {{수학|dn (''iφ''{{!}}''m'') {{=}} dc (''φ''{{!}}1 - ''m'')}}
임을 알 수 있음.

== 주기 구하기 ==
그럼 이 함수 주기를 구해보자
저 적분에서 {{수학|''ϕ''}} 자리에다 {{수학|''ϕ'' + ''π''}}를 넣으면<br>
{{수학|{{적분|0|''ϕ'' + ''π''}}{{수직분수|d''θ''|{{제곱근||1 - ''m'' sin² ''θ''}}}}}}<br>
{{수학|{{=}} {{적분|''π''|''ϕ'' + ''π''}}{{수직분수|d''θ''|{{제곱근||1 - ''m'' sin² ''θ''}}}} + {{적분|0|''π''}}{{수직분수|d''θ''|{{제곱근||1 - ''m'' sin² ''θ''}}}}}}<br>
{{수학|{{=}} {{적분|0|''ϕ''}}{{수직분수|d''θ''|{{제곱근||1 - ''m'' sin² ''θ''}}}} + 2{{적분|0|''π/2''}}{{수직분수|d''θ''|{{제곱근||1 - ''m'' sin² ''θ''}}}}}}<br>
{{수학|{{=}} ''φ'' + 2''K''(''m'')}}을 얻음 ㅇㅇ 이걸 아까 타원함수에다 넣고 정리하면<br>
 {{수학|sn (''φ'' + 2''K''(''m''){{!}}''m'') {{=}} -sn (''φ''{{!}}''m'')}}
 {{수학|cn (''φ'' + 2''K''(''m''){{!}}''m'') {{=}} -cn (''φ''{{!}}''m'')}}
 {{수학|dn (''φ'' + 2''K''(''m''){{!}}''m'') {{=}} dn (''φ''{{!}}''m'')}}
임을 알 수 있음. 여기서 K(m)은 제1 종 완전 [[타원적분]] 함수임

그리고 {{수학|''φ'' + 2''iK''(1 - ''m'') {{=}} ''i''ㆍ[-''iφ'' + 2''K''(1 - ''m'')]}}으로 놓고 아까 구한 허수 관계식을 사용하면
 {{수학|sn (''φ'' + 2''iK''(1 - ''m''){{!}}''m'') {{=}} sn (''φ''{{!}}''m'')}}
 {{수학|cn (''φ'' + 2''iK''(1 - ''m''){{!}}''m'') {{=}} -cn (''φ''{{!}}''m'')}}
 {{수학|dn (''φ'' + 2''iK''(1 - ''m''){{!}}''m'') {{=}} -dn (''φ''{{!}}''m'')}}
인것도 알 수 있음 ㅇㅇ

== m이 분수, 음수일 때 ==
=== 분수일 때 ===
{{수학|''y'' {{=}} dn (''φ''{{!}}{{수직분수|1|''m''}})}}의 방정식을 쓰면<br>
{{수학|({{수직분수|d''y''|d''φ''}})² {{=}} (1 - ''y''²)({{수직분수|1|''m''}} - 1 + ''y''²)}}<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|1|''m''}}(1 - ''y''²)(1 - ''m'' + ''my''²)}} 이고 이는 cn에 대한 미분방정식 이므로<br>
{{수학|''y'' {{=}} cn ({{수직분수|''φ'' + ''φ''{{아래첨자|0}}|{{제곱근||''m''}}}}{{!}}''m'')}} 을 얻음<br>

그 다음 아까 한 것 처럼 φ=0을 대입해 보면 여기서도 ''φ''{{아래첨자|0}}=0이어야 하므로 {{수학|dn (''φ''{{!}}{{수직분수|1|''m''}}) {{=}} cn ({{수직분수|''φ''|{{제곱근||''m''}}}}{{!}}''m'')}}임을 알 수 있음

이제 이걸 제곱항등식을 써서 sn cn것도 구하고 정리하면
 {{수학|sn (''φ''{{!}}{{수직분수|1|''m''}}) {{=}} {{제곱근||''m''}} sn ({{수직분수|''φ''|{{제곱근||''m''}}}}{{!}}''m'')}}
 {{수학|cn (''φ''{{!}}{{수직분수|1|''m''}}) {{=}} dn ({{수직분수|''φ''|{{제곱근||''m''}}}}{{!}}''m'')}}
 {{수학|dn (''φ''{{!}}{{수직분수|1|''m''}}) {{=}} cn ({{수직분수|''φ''|{{제곱근||''m''}}}}{{!}}''m'')}}
임 ㅇㅇ

=== 음수일 때 ===
{{수학|''y'' {{=}} dn (''φ''{{!}}-''m'')}}의 방정식을 쓰면<br>
{{수학|({{수직분수|d''y''|d''φ''}})² {{=}} (1 - ''y''²)(-''m'' - 1 + ''y''²)}}<br>
{{수학|{{=}} (''y''² - 1)(-''y''² + 1 + ''m'')}}임<br>
이제 이걸 아까 허수일 때 처럼 양변을 y⁴으로 나누면<br>
{{수학|({{수직분수|d|d''φ''}}{{수직분수|1|''y''}})² {{=}} (1 - {{수직분수|1|''y''²}})(-1 + {{수직분수|1 + ''m''|''y''²}})}}<br>
{{수학|{{=}} (1 + ''m'')(1 - {{수직분수|1|''y''²}})(-{{수직분수|1|1 + ''m''}} + {{수직분수|1|''y''²}})}}<br>
{{수학|{{=}} (1 + ''m'')(1 - {{수직분수|1|''y''²}})({{수직분수|''m''|1 + ''m''}} -1 + {{수직분수|1|''y''²}})}}이므로<br>
{{수학|{{수직분수|1|''y''}} {{=}} dn ({{제곱근||1 + ''m''}}(''φ'' + ''φ''{{아래첨자|0}}){{!}}{{수직분수|''m''|1 + ''m''}})}}이 나옴 ㅇ

여기서도 ''φ''=0을 대입해 확인하면 φ{{아래첨자|0}}=0이니 {{수학|dn (''φ''{{!}}-''m'') {{=}} nd ({{제곱근||1 + ''m''}}''φ''{{!}}{{수직분수|''m''|1 + ''m''}})}}임을 알 수 있음 ㅇ

이제 제곱항등식으로 sn cn것도 구하면
 {{수학|sn (''φ''{{!}}-''m'') {{=}} {{수직분수|1|{{제곱근||1 + ''m''}}}} sd ({{제곱근||1 + ''m''}}''φ''{{!}}{{수직분수|''m''|1 + ''m''}})}}
 {{수학|cn (''φ''{{!}}-''m'') {{=}} cd ({{제곱근||1 + ''m''}}''φ''{{!}}{{수직분수|''m''|1 + ''m''}})}}
 {{수학|dn (''φ''{{!}}-''m'') {{=}} nd ({{제곱근||1 + ''m''}}''φ''{{!}}{{수직분수|''m''|1 + ''m''}})}}
임을 알 수 있음 ㅇ

== 4분주기만큼 평행이동하면? ==
실수주기
 {{수학|sn (''φ'' ± ''K''(''m''){{!}}''m'') {{=}} ±cd (''φ''{{!}}''m'')}}
 {{수학|cn (''φ'' ± ''K''(''m''){{!}}''m'') {{=}} ∓{{제곱근||1 - ''m''}} sd (''φ''{{!}}''m'')}}
 {{수학|dn (''φ'' ± ''K''(''m''){{!}}''m'') {{=}} {{제곱근||1 - ''m''}} nd (''φ''{{!}}''m'')}}

허수주기
 {{수학|sn (''φ'' ± ''iK''(1 - ''m''){{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|ns (''φ''{{!}}''m'')|{{제곱근||''m''}}}}}}
 {{수학|cn (''φ'' ± ''iK''(1 - ''m''){{!}}''m'') {{=}} ∓{{수직분수|''i''|{{제곱근||''m''}}}} ds (''φ''{{!}}''m'')}}
 {{수학|dn (''φ'' ± ''iK''(1 - ''m''){{!}}''m'') {{=}} ∓''i'' cs (''φ''{{!}}''m'')}}
둘 다 복호동순이다.<br>
증명은 아래 합공식에 K(m) 넣으면 된다.

== 합 공식 ==
{{길음|내용}}
{{알림 상자
|색 = #ff8888
|배경색 = white
|제목색 = blue
|본문색 = #000000
|제목 = 주의. 이 문단에선 m을 생략했습니다.
|본문 = 내용이 존나 길어서 sn (φ{{!}}m)을 sn φ나 sn (φ) 따위로 표기하니 머가리가 터질 너님의 띵복을 액션빔
}}
{{난해한 문서}}
존나 작은 c에 대해 미분을<br>
{{수학|{{수직분수|d|d''x''}}''f''(''x'') ≒ {{수직분수|''f''(''x'' + ''c'') - ''f''(''x'')|''c''}}}}로 근사할 수 있으니 이 식을 변형하여<br>
{{수학|''f''(''x'' + ''c'') ≒ ''f''(''x'') + ''c''{{수직분수|d|d''x''}}''f''(''x'')}}로도 쓸 수 있음 ㅇ


이에 따라 야코비함수 미분공식을 써서 존나 작은 β에 대해<br>
┏{{수학|sn (''α'' + ''β'') ≒ sn (''α'') + ''β'' × cn·dn (''α'')}}<br>
┃{{수학|cn (''α'' + ''β'') ≒ cn (''α'') - ''β'' × sn·dn (''α'')}}<br>
┗{{수학|dn (''α'' + ''β'') ≒ dn (''α'') - ''β'' × ''m'' sn·cn (''α'')}}<br>
이렇게 쓸 수 있고 이를 충분히 큰 β에 대해 일반화 시킬 때 이 식 좌변이 대칭식 형태이고 또 야코비함수 제곱항등식을 만족시킴을 고려해<br>
(1) {{수학|''M''(''α'', ''β'') sn (''α'' + ''β'') {{=}} sn ''α'' cn·dn ''β'' + cn·dn ''α'' sn ''β''}}<br>
(2) {{수학|''M''(''α'', ''β'') cn (''α'' + ''β'') {{=}} ''C''(''α'', ''β'') cn ''α'' cn ''β'' - ¹/{{아래첨자|''C''}}(''α'', ''β'') sn·dn ''α'' sn·dn ''β''}}<br>
(3) {{수학|''M''(''α'', ''β'') dn (''α'' + ''β'') {{=}} ''D''(''α'', ''β'') dn ''α'' dn ''β'' - {{위첨자|''m''}}/{{아래첨자|''D''}}(''α'', ''β'') sn·cn ''α'' sn·cn ''β''}}<br>
으로 쓸 수 있음 ㅇㅇ

참고로 M, C, D는 알파하고 베타 교환해도 똑같은 값이고 이들은 1 + m sn α sn β × (나머지 항)을 만족한다.

이제 (2)² + (1)²과 (3)² + m × (1)²을 계산하자.


(2)² + (1)²을 계산하면<br>
{{수학|''M''²(''α'', ''β'') {{=}}}}<br>
{{수학|{{=}} [''M''(''α'', ''β'') cn (''α'' + ''β'')]² + [''M''(''α'', ''β'') sn (''α'' + ''β'')]²}}<br>
{{수학|{{=}} ''C''²(''α'', ''β'') cn² ''α'' cn² ''β'' + sn² ''α'' cn²·dn² ''β''}} {{수학|+ cn²·dn² ''α'' sn² ''β'' + ¹/{{아래첨자|''C''²}}(''α'', ''β'') sn²·dn² ''α'' sn²·dn² ''β''}}<br>
{{수학|{{=}} (cn² ''α'' + sn² ''α'' dn² ''β'')(cn² ''β'' + dn² ''α'' sn² ''β'')}} {{색|blue|{{수학|+ (''C''²(''α'', ''β'') - 1) cn² ''α'' cn² ''β'' + (¹/{{아래첨자|''C''²}} - 1)(''α'', ''β'') sn²·dn² ''α'' sn²·dn² ''β''}}}}<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'')²}}{{색|blue|{{수학| + 나머지항1}}}}이고<br>

(3)² + m × (1)²을 계산하면<br>
{{수학|''M''²(''α'', ''β'')}}<br>
{{수학|{{=}} [''M''(''α'', ''β'') dn (''α'' + ''β'')]² + ''m''[''M''(''α'', ''β'') sn (''α'' + ''β'')]²}}<br>
{{수학|{{=}} ''D''²(''α'', ''β'') dn² ''α'' dn² ''β'' + ''m'' sn² ''α'' cn²·dn² ''β''}} {{수학|+ ''m'' cn²·dn² ''α'' sn² ''β'' + {{위첨자|''m''²}}/{{아래첨자|''D''²}}(''α'', ''β'') sn²·cn² ''α'' sn²·cn² ''β''}}<br>
{{수학|{{=}} (dn² ''α'' + ''m'' sn² ''α'' cn² ''β'')(dn² ''β'' + ''m'' cn² ''α'' sn² ''β'')}} {{색|blue|{{수학|+ (''D''²(''α'', ''β'') - 1) dn² ''α'' dn² ''β'' + ({{위첨자|''m''²}}/{{아래첨자|''D''²}} - 1)(''α'', ''β'') sn²·cn² ''α'' sn²·cn² ''β''}}}}<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'')²}}{{색|blue|{{수학| + 나머지항2}}}}이다.


그 다음 {{수학|''M''(''α'', ''β'') {{=}} (1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β''){{루비|''M''|~}}(''α'', ''β'')}}으로 놓아 sn합공식을<br>
{{수학|{{루비|''M''|~}}(''α'', ''β'') sn (''α'' + ''β'') {{=}} {{수직분수|sn ''α'' cn·dn ''β'' + cn·dn ''α'' sn ''β''|1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β''}}}}로 쓴 뒤 이 식을 α에 대해 편미분하자.<br>
그럼<br>
{{수학|{{수직분수|''∂''|''∂α''}}{{루비|''M''|~}}(''α'', ''β'') sn (''α'' + ''β'')}}<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|''∂''|''∂α''}} {{수직분수|sn ''α'' cn·dn ''β'' + cn·dn ''α'' sn ''β''|1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β''}}}}<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|cn·dn ''α'' cn·dn ''β'' - sn·(dn² + ''m'' cn²) ''α'' sn ''β''|1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β''}}}} {{수학|+ 2''m'' sn·cn·dn ''α'' sn² ''β'' · {{수직분수|sn ''α'' cn·dn ''β'' - cn·dn ''α'' sn ''β''|(1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'')²}}}} (첫째는 분자, 둘째는 분모 미분)<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|{{색|blue|cn·dn}} ''α'' {{색|blue|cn·dn}} ''β'' - {{색|violet|sn}}·(dn² + ''m'' cn²) ''α'' {{색|violet|sn}} ''β''|1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β''}}}} {{수학|+ 2''m'' {{수직분수|sn²·{{색|blue|cn·dn}} ''α'' sn²·{{색|blue|cn·dn}} ''β'' - {{색|violet|sn}}·cn²·dn² ''α'' sn²·{{색|violet|sn}} ''β''|(1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'')²}}}} (같은 색으로 칠한 것 끼리 묶고 더하면 됨)<br>
{{수학|{{=}} {{색|blue|cn·dn}} ''α'' {{색|blue|cn·dn}} ''β'' {{수직분수|(1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'') + 2''m'' sn² ''α'' sn² ''β''|(1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'')²}}}} {{수학|- {{색|violet|sn}} ''α'' {{색|violet|sn}} ''β'' {{수직분수|(1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'')(dn² + ''m'' cn²) ''α'' + 2''m'' cn²·dn² ''α'' sn² ''β''|(1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'')²}}}}<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|(1 + ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'') {{색|blue|cn·dn}} ''α'' {{색|blue|cn·dn}} ''β'' - (dn² ''α'' dn² ''β'' + m cn² ''α'' cn² ''β'') {{색|violet|sn}} ''α'' {{색|violet|sn}} ''β''|(1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β'')²}}}} ([[인수분해]]를 하자)<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|cn ''α'' cn ''β'' - sn·dn ''α'' sn·dn ''β''|1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β''}}ㆍ{{수직분수|dn ''α'' dn ''β'' - ''m'' sn·cn ''α'' sn·cn ''β''|1 - ''m'' sn² ''α'' sn² ''β''}}}}이 나온다.

여기서 아까전에 나왔던 나머지항도 없앨 겸 {{루비|M|~}}=C=D=1로 놓을 경우 위 식은 {{수학|{{수직분수|''∂''|''∂α''}} sn (''α'' + ''β'') {{=}} cn (''α'' + ''β'') dn (''α'' + ''β'')}}이 되어 미분공식을 만족하게 되고 cn이랑 dn도 제곱항등식 미분을 통해 미분공식을 만족함을 알게 됨 ㅇ

이에 따라
 {{수학|sn (''α'' + ''β''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|sn (''α''{{!}}''m'') cn·dn (''β''{{!}}''m'') + cn·dn (''α''{{!}}''m'') sn (''β''{{!}}''m'')|1 - ''m'' sn² (''α''{{!}}''m'') sn² (''β''{{!}}''m'')}}}}
 {{수학|cn (''α'' + ''β''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|cn (''α''{{!}}''m'') cn (''β''{{!}}''m'') - sn·dn (''α''{{!}}''m'') sn·dn (''β''{{!}}''m'')|1 - ''m'' sn² (''α''{{!}}''m'') sn² (''β''{{!}}''m'')}}}}
 {{수학|dn (''α'' + ''β''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|dn (''α''{{!}}''m'') dn (''β''{{!}}''m'') - ''m'' sn·cn (''α''{{!}}''m'') sn·cn (''β''{{!}}''m'')|1 - ''m'' sn² (''α''{{!}}''m'') sn² (''β''{{!}}''m'')}}}}
임을 알 수 있음 ㅇㅇ

=== 2배각 공식 ===
{{2}}
{{해결}}
ㄴ 아까 한거에 비하면

cndn 덧셈공식에다 α=β=φ를 대입하면<br>
{{수학|dn 2''φ'' {{=}} {{수직분수|dn² ''φ'' - ''m'' sn²·cn² ''φ''|1 - ''m'' sn⁴ ''φ''}}}}<br>
{{수학|cn 2''φ'' {{=}} {{수직분수|cn² ''φ'' - sn²·dn² ''φ''|1 - ''m'' sn⁴ ''φ''}}}}<br>
이잖음

dn은 1을 더하고 cn은 1에서 빼면<br>
dn: {{수학|1 + dn 2''φ''}}<br>
{{수학| {{=}} {{수직분수|[1 - ''m'' sn²·{{색|blue|sn²}} ''φ''] + [dn² ''φ'' - ''m'' sn²·{{색|blue|cn²}} ''φ'']|1 - ''m'' sn⁴ ''φ''}}}} (같은 색 더하자)<br>
{{수학| {{=}} {{수직분수|1 - ''m'' sn²·{{색|blue|1}} ''φ'' + dn² ''φ''|1 - ''m'' sn⁴ ''φ''}}}}<br>
{{수학| {{=}} {{수직분수|2 dn² ''φ''|1 - ''m'' sn⁴ ''φ''}}}}

cn: {{수학|1 - cn 2''φ''}}<br>
{{수학| {{=}} {{수직분수|[{{색|blue|1}} - ''m'' sn⁴ ''φ''] - [{{색|blue|cn²}} ''φ'' - sn²·dn² ''φ'']|1 - ''m'' sn⁴ ''φ''}}}}<br>
{{수학| {{=}} {{수직분수|{{색|blue|sn²}} ''φ'' - ''m'' sn⁴ ''φ'' + sn²·dn² ''φ''|1 - ''m'' sn⁴ ''φ''}}}}<br>
{{수학| {{=}} {{수직분수|2 sn²·dn² ''φ''|1 - ''m'' sn⁴ ''φ''}}}}<br>
이니 1-cn을 1+dn으로 나누면<br>
{{수학|sn² ''φ'' {{=}} {{수직분수|1 - cn 2''φ''|1 + dn 2''φ''}}}}을 얻음 ㅇㅇ

이제 제곱항등식으로 cn, dn 것도 구하면
 {{수학|sn² (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|1 - cn (2''φ''{{!}}''m'')|1 + dn (2''φ''{{!}}''m'')}}}}
 {{수학|cn² (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|(dn + cn) (2''φ''{{!}}''m'')|1 + dn (2''φ''{{!}}''m'')}}}}
 {{수학|dn² (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|1 - ''m'' + (dn + ''m'' cn) (2''φ''{{!}}''m'')|1 + dn (2''φ''{{!}}''m'')}}}}
을 얻음 ㅇㅇ

== 적분 공식 ==
=== {{수학|{{적분}}d''φ'' 갑n·을n·''f''(병n) (''φ''{{!}}''m'')}} 꼴일 때 ===
이건 간단히 병n = x로 치환하여
 {{수학|{{적분}}d''φ'' sn·dn·''f''(cn) (''φ''{{!}}''m'') {{=}} - {{적분|''x'' {{=}} cn (''φ''{{!}}''m'')|}}d''x'' ''f''(''x'')}}
 {{수학|{{적분}}d''φ'' cn·dn·''f''(sn) (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{적분|''x'' {{=}} sn (''φ''{{!}}''m'')|}}d''x'' ''f''(''x'')}}
 {{수학|{{적분}}d''φ'' sn·cn·''f''(dn) (''φ''{{!}}''m'') {{=}} -  {{적분|''x'' {{=}} dn (''φ''{{!}}''m'')|}}{{수직분수|d''x''|''m''}} ''f''(''x'')}}
이렇게 하면 된다.

=== {{수학|{{적분}}d''φ'' 갑n·''f''(을n, 병n) (''φ''{{!}}''m'')}} 꼴일 때 ===
ㄴ참고로 {{수학|갑n·''f''(을n, 병n) (''φ''{{!}}''m'')}} {{수학|{{=}} 갑n (''φ''{{!}}''m'')×''f''(을n (''φ''{{!}}''m''), 병n (''φ''{{!}}''m''))}}을 뜻한다.

먼저 cn일 경우에는 {{수학|{{적분}}d''φ'' cn·''f''(sn, dn) (''φ''{{!}}''m'')}}을 풀기 위해<br>
{{수학|{{제곱근||''m''}} sn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} sin ''θ'', dn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} cos ''θ''}}로 치환을 하자.<br>
그럼 {{수학|{{제곱근||''m''}} cn·dn (''φ''{{!}}''m'') {{수직분수|d''φ''|d''θ''}} {{=}} cos ''θ''}}<br>
➡️{{수학|{{제곱근||''m''}} cn (''φ''{{!}}''m'') {{수직분수|d''φ''|d''θ''}} {{=}} 1}}이므로<br>
{{수학|d''φ'' cn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|d''θ''|{{제곱근||''m''}}}}}}로 치환할 수 있음 ㅇㅇ

이에 따라 위 적분은<br>
{{수학|{{적분}}d''φ'' cn·''f''(sn, dn) (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{적분}}{{수직분수|d''θ''|{{제곱근||''m''}}}} ''f''({{수직분수|sin ''θ''|{{제곱근||''m''}}}}, cos ''θ'')}}<br>
으로 바뀌고 이제 이 적분을 푼 뒤 치환한 변수를 도로 원상복귀 시키면 됨 ㅇ

f(x, y) = 1인 경우를 예로 들면<br>
{{수학|{{적분}}d''φ'' cn (''φ''{{!}}''m'')}}<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|1|{{제곱근||''m''}}}}{{적분}}d''θ'' (1)}} (치환적분)<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|θ|{{제곱근||''m''}}}} + ''적분상수''}} (적분계산)<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|Asin [{{제곱근||''m''}} sn (''φ''{{!}}''m'')]|{{제곱근||''m''}}}} + ''적분상수''}} (원상복귀)<br>
이와 같은 과정으로 하면 된다 ㅇㅇ

2. 그 다음 sn에 대한거 {{수학|{{적분}}d''φ'' sn·''f''(cn, dn) (''φ''{{!}}''m'')}}을 풀기 위해 아까와는 좀 다르게<br>
{{수학|{{제곱근||''m''}} cn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{제곱근||1 - ''m''}} sinh ''η''}}, {{수학|dn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{제곱근||1 - ''m''}} cosh ''η''}}로 치환을 하고<br>
{{수학|-{{제곱근||''m''}} sn·dn (''φ''{{!}}''m'') {{수직분수|d''φ''|d''η''}} {{=}} {{제곱근||1 - ''m''}} cosh ''η''}}<br>
➡️{{수학|-{{제곱근||''m''}} sn (''φ''{{!}}''m'') {{수직분수|d''φ''|d''η''}} {{=}} 1}} 이니<br>
미분형식은 {{수학|d''φ'' sn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} - {{수직분수|d''η''|{{제곱근||''m''}}}}}}로 치환하면 위 적분은<br>
{{수학|{{적분}}d''φ'' sn·''f''(cn, dn) (''φ''{{!}}''m'')}} {{수학|{{=}} - {{적분}}{{수직분수|d''η''|{{제곱근||''m''}}}} ''f''({{수직분수|{{제곱근||1 - ''m''}} sinh ''η''|{{제곱근||''m''}}}}, {{제곱근||1 - ''m''}} cosh ''η'')}} 으로 바뀌니까 이거 풀고 다시 원상복귀 ㄱㄱ

3. 마지막으로 dn에 관한 거 {{수학|{{적분}}d''φ'' dn·''f''(sn, cn) (''φ''{{!}}''m'')}}을 풀 때는<br>
{{수학|Am (''φ''{{!}}''m'') {{=}} ''θ''}} 으로 치환하면<br>
{{수학|dn (''φ''{{!}}''m'') d''φ'' {{=}} d''θ''}}이므로 위 적분은<br>
{{수학|{{적분}}d''φ'' dn·''f''(sn, cn) (''φ''{{!}}''m'')}} {{수학|{{=}} {{적분}}d''θ'' ''f''(sin ''θ'', cos ''θ'')}} 으로 바뀌니 이거 풀고 다시 원상복귀 하면됨 ㅇ

따라서
 {{수학|{{적분}}d''φ'' sn·''f''(cn, dn) (''φ''{{!}}''m'') {{=}} - {{적분|''η'' {{=}} Asinh [{{제곱근||{{수직분수|''m''|1 - ''m''}}}} cn (''φ''{{!}}''m'')]|}}{{수직분수|d''η''|{{제곱근||''m''}}}} ''f''({{수직분수|{{제곱근||1 - ''m''}} sinh ''η''|{{제곱근||''m''}}}}, {{제곱근||1 - ''m''}} cosh ''η'')}}
 {{수학|{{적분}}d''φ'' cn·''f''(sn, dn) (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{적분|''θ'' {{=}} Asin [{{제곱근||''m''}} sn (''φ''{{!}}''m'')]|}}{{수직분수|d''θ''|{{제곱근||''m''}}}} ''f''({{수직분수|sin ''θ''|{{제곱근||''m''}}}}, cos ''θ'')}}
 {{수학|{{적분}}d''φ'' dn·''f''(sn, cn) (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{적분|''θ'' {{=}} Am (''φ''{{!}}''m'')|}}d''θ'' ''f''(sin ''θ'', cos ''θ'')}}
이렇게 치환해서 삼각함수 적분하면 된다 ㅇㅇ

f가 유리함수이기만 하면 적분 ㅆㄱㄴ이다 ㅇㄱㄹㅇ

==== 특별한 경우 ====
sn cn dn을 각각 적분한 거
 {{수학|{{적분}}d''φ'' sn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} - {{수직분수|Asinh [{{제곱근||{{수직분수|''m''|1 - ''m''}}}} cn (''φ''{{!}}''m'')]|{{제곱근||''m''}}}} + ''적분상수''}}
 {{수학|{{적분}}d''φ'' cn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|Asin [{{제곱근||''m''}} sn (''φ''{{!}}''m'')]|{{제곱근||''m''}}}} + ''적분상수''}}
 {{수학|{{적분}}d''φ'' dn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} Am (''φ''{{!}}''m'') + ''적분상수''}}

세제곱꼴
 {{수학|{{적분}}d''φ'' sn³ (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|cn·dn (''φ''{{!}}''m'')|2''m''}} - (1 + {{수직분수|1|''m''}}){{수직분수|Asinh [{{제곱근||{{수직분수|''m''|1 - ''m''}}}} cn (''φ''{{!}}''m'')]|2{{제곱근||''m''}}}} + ''적분상수''}}
 {{수학|{{적분}}d''φ'' cn·sn² (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|{{수직분수|1|{{제곱근||''m''}}}}Asin [{{제곱근||''m''}} sn (''φ''{{!}}''m'')] - sn·dn (''φ''{{!}}''m'')|2''m''}} + ''적분상수''}}
 {{수학|{{적분}}d''φ'' dn·sn² (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|Am (''φ''{{!}}''m'') - sn·cn (''φ''{{!}}''m'')|2}} + ''적분상수''}}

역수꼴일 때
 {{수학|{{적분}}d''φ'' ns (''φ''{{!}}''m'') {{=}} - Atanh∘cd (''φ''{{!}}''m'') + ''적분상수''}}
 {{수학|{{적분}}d''φ'' nc (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|Atanh [{{제곱근||1 - ''m''}} sd (''φ''{{!}}''m'')]|{{제곱근||1 - ''m''}}}} + ''적분상수''}}
 {{수학|{{적분}}d''φ'' nd (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|Am (''φ''{{!}}''m'') - Atan {{수직분수|''m'' sn·cn (''φ''{{!}}''m'')|{{제곱근||1 - ''m''}} + dn² (''φ''{{!}}''m'')}}|{{제곱근||1 - ''m''}}}} + ''적분상수''}}

등등

=== 이 외의 경우 ===
* {{수학|{{적분}}d''φ'' dn² (''φ''{{!}}''m'') {{=}} ''E''∘Am (''φ''{{!}}''m'') + ''적분상수''}}
** {{수학|{{적분}}d''φ'' sn² (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|''φ'' - ''E''∘Am (''φ''{{!}}''m'')|''m''}} + ''적분상수''}}
* 
* {{수학|2(1 + ''n''){{적분}}{{수직분수|d''φ''|[1 + ''n'' sn² (''φ''{{!}}''m'')]²}}}} {{수학|{{=}} (2 + ''n'' + ''m''{{수직분수|1 + ''n''|''m'' + ''n''}}){{적분}}{{수직분수|d''φ''|1 + ''n'' sn² (''φ''{{!}}''m'')}} + {{수직분수|''n''|''m'' + ''n''}}[{{수직분수|''n'' sn·cn·dn (''φ''{{!}}''m'')|1 + ''n'' sn² (''φ''{{!}}''m'')}} + ''E''∘Am (''φ''{{!}}''m'')] - ''φ''}} ㄴ블랙홀 궤도 계산할 때 쓴다.
등등

==== 풀이 ====
{{수학|{{적분}}d''φ'' dn² (''φ''{{!}}''m'')}}에서 {{수학|Am (''φ''{{!}}''m'') {{=}} ''ϕ''}}로 치환하여<br>
{{수학|d''φ'' dn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} d''ϕ''}}, {{수학|dn (''φ''{{!}}''m'') {{=}} {{제곱근||1 - ''m'' sin² ''ϕ''}}}}으로 바꾸면<br>
{{수학|{{적분}}d''φ'' dn² (''φ''{{!}}''m'')}}<br>
{{수학|{{=}} {{적분}}d''ϕ'' {{제곱근||1 - ''m'' sin² ''ϕ''}}}}<br>
{{수학|{{=}} ''E''(''ϕ'') + ''적분상수''}}<br>
{{수학|{{=}} ''E''∘Am (''φ''{{!}}''m'') + ''적분상수''}}<br>
이렇게 풀리고 sn² 같은 것들은 제곱항등식을 통해 상수, dn에 관한 식으로 변형해서 풀면 됨 ㅇㅇ

== 특수각 ==
=== 기본 ===
{{쉬운 게임}}
φ = 0일 때
 {{수학|sn (0{{!}}''m'') {{=}} 0}}
 {{수학|cn (0{{!}}''m'') {{=}} 1}}
 {{수학|dn (0{{!}}''m'') {{=}} 1}}

φ = K(m)일 때
 {{수학|sn (''K''(''m''){{!}}''m'') {{=}} 1}}
 {{수학|cn (''K''(''m''){{!}}''m'') {{=}} 0}}
 {{수학|dn (''K''(''m''){{!}}''m'') {{=}} {{제곱근||1 - ''m''}}}}

φ = {{수직분수|K(m)|2ⁿ}}꼴일 땐 2배각 공식을 거듭해서 구하면 된다.<br>
예를 들면 φ={{수직분수|K(m)|2}}일 때는
 {{수학|sn ({{수직분수|''K''(''m'')|2}}{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|1|{{제곱근||1 + {{제곱근||1 - ''m''}}}}}}}}
 {{수학|cn ({{수직분수|''K''(''m'')|2}}{{!}}''m'') {{=}} {{제곱근||{{수직분수|{{제곱근||1 - ''m''}}|1 + {{제곱근||1 - ''m''}}}}}}}}
 {{수학|dn ({{수직분수|''K''(''m'')|2}}{{!}}''m'') {{=}} {{제곱근|4|1 - ''m''}}}}
이다.

=== φ = {{수직분수|K(m)|3}}일 때 ===
{{길음|유도 과정}}
{{난해한 문서}}
먼저 계산을 편하게 하기 위해<br>
┏{{수학|sn ({{수직분수|''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} ''s'', sn ({{수직분수|2''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} ''s{{아래첨자|2}}''}}<br>
┃{{수학|cn ({{수직분수|''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} ''c'', cn ({{수직분수|2''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} ''c{{아래첨자|2}}''}}<br>
┗{{수학|dn ({{수직분수|''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} ''d'', dn ({{수직분수|2''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} ''d{{아래첨자|2}}''}}<br>
로 놓고 cn 합공식에 α = {{수직분수|K(m)|3}}이랑 β = {{수직분수|2K(m)|3}}을 대입하자<br>
그럼 방정식 {{수학|0 {{=}} cn (''K''(''m''){{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|''cc''{{아래첨자|2}} - ''sds''{{아래첨자|2}}''d''{{아래첨자|2}}|1 - ''ms''²''s''{{아래첨자|2}}²}}}}<br>
➡️{{수학|0 {{=}} ''cc''{{아래첨자|2}} - ''sds''{{아래첨자|2}}''d''{{아래첨자|2}}}}을 얻음 ㅇ

그 다음 s{{아래첨자|2}}c{{아래첨자|2}}d{{아래첨자|2}}를 scd에 대한 식으로 바꾸기 위해 합공식에 α = β = {{수직분수|K(m)|3}}를 넣어 얻은<br>
┏{{수학|''s''{{아래첨자|2}} {{=}} {{수직분수|2''scd''|1 - ''ms''⁴}}}}<br>
┃{{수학|''c''{{아래첨자|2}} {{=}} {{수직분수|''c''² - ''s''²''d''²|1 - ''ms''⁴}}}}<br>
┗{{수학|''d''{{아래첨자|2}} {{=}} {{수직분수|''d''² - ''ms''²''c''²|1 - ''ms''⁴}}}}<br>
이 놈들을 위 방정식에다 대입하면<br>
{{수학|0 {{=}} ''cc''{{아래첨자|2}} - ''sds''{{아래첨자|2}}''d''{{아래첨자|2}}}}<br>
{{수학| {{=}} ''c''·{{수직분수|''c''² - ''s''²''d''²|1 - ''ms''⁴}} - ''sd''·{{수직분수|2''scd''|1 - ''ms''⁴}}·{{수직분수|''d''² - ''ms''²''c''²|1 - ''ms''⁴}}}}<br>
이렇게 바꿀수 있다.

그리고 양변에다 {{수직분수|(1 - ''ms''⁴)²|''c''}}를 곱하고 위 식을 계산하면<br>
{{수학|0 {{=}} (''c''² - ''s''²''d''²)(1 - ''ms''⁴) - 2''s''²''d''²(''d''² - ''ms''²''c''²)}}<br>
{{수학|{{=}} [({{색|blue|1}} - {{색|violet|''s''²}}) + ({{색|violet|''ms''⁴}} - {{색|blue|''ms''⁴}}) - ''s''²''d''²](1 - ''ms''⁴)}} {{수학|- 2''s''²''d''²(''d''² - ''ms''²''c''²)}} ({{색|blue|파란색 {{=}} 1 - ms⁴}}, {{색|violet|보라색 {{=}} -s²d²}}이고 보라색을 옆쪽 -s²d²와 합치자)<br>
{{수학|{{=}} [(1 - ''ms''⁴) - 2''s''²''d''²](1 - ''ms''⁴)}} {{수학|- 2''s''²''d''²(''d''² - ''ms''²''c''²)}} (-2s²d²를 묶어주자)<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''ms''⁴)² - 2''s''²''d''²[(1 - {{색|green|''ms''⁴}}) + (''d''² - {{색|green|''ms''²''c''²}})]}} (초록색 더해주자)<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''ms''⁴)² - 2''s''²''d''²(1 - ''ms''² + ''d''²)}} (1 - ms² = d²)<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''ms''⁴)² - 4''s''²''d''⁴}}이고 여기서 우변을 이항하면<br>
{{수학|(1 - ''ms''⁴)² {{=}} 4''s''²''d''⁴}}임을 알 수 있고 여기에다 루트를 적용하면<br>
{{수학|1 - ''ms''⁴ {{=}} ±2''sd''²}}가 나온다.

여기서 잠깐 부호가 뭐가 되야 하는지 알기 위해 m = 0을 넣어보면 K(0) = 90° 임에 따라<br>
{{수학|s {{=}} sn ({{수직분수|90°|3}}{{!}}0) {{=}} sin 30° {{=}} {{수직분수|1|2}}}}이고<br>
{{수학|d² {{=}} 1 - 0·s² {{=}} 1}}이니 부호가 양수이다.

고로 아까 식에다 루트를 하면 {{수학|1 - ''ms''⁴ {{=}} 2''sd''²}}가 나오게 되고 이놈을 정리하면<br>
4차방정식 {{수학|''ms''⁴ - 2''ms''³ + 2''s'' - 1 {{=}} 0}}을 얻는다.

이제 이 식에다 s = {{수직분수|x - 1|x + 1}}을 넣고 (x + 1)⁴을 곱하면<br>
{{수학|0 {{=}} ''m''(''x'' - 1)⁴ - 2''m''(''x'' - 1)³(''x'' + 1)}} {{수학|+ 2(''x'' - 1)(''x'' + 1)³ - (''x'' + 1)⁴}}<br>
{{수학|{{=}} ''m''(''x''⁴ - 4''x''³ + 6''x''² - 4''x'' + 1)}} {{수학|- 2''m''(''x''⁴ - 2''x''³ + 2''x'' - 1) + 2(''x''⁴ + 2''x''³ - 2''x'' - 1)}} {{수학|- (''x''⁴ + 4''x''³ + 6''x''² + 4''x'' + 1)}} (취소선 친건 사라짐)<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''m'')(''x''⁴ - 6''x''² - 8{{수직분수|1 + ''m''|1 - ''m''}}''x'' - 3)}}을 얻는다<br>

그리고 이 식을 1 - m으로 나눈 다음 이 식 좌변을 완전제곱식으로 바꾸기 위해 식을 변형하면<br>
{{수학|''x''⁴ - 6''x''² + 9 {{=}} 8{{수직분수|1 + ''m''|1 - ''m''}}''x'' + 12}}<br>
➡️{{수학|''x''⁴ + 2(2''y'' - 3)''x''² + (2''y'' - 3)²}} {{수학|{{=}} 4[''yx''² + 2{{수직분수|1 + ''m''|1 - ''m''}}''x'' + (''y''² - 3''y'' + 3)]}}을 얻고<br>
우변도 완전제곱식으로 만들기 위해 2차[[방정식]] 짝수[[판별식]] 중근조건을 적용하면<br>
{{수학|0 {{=}} ''D'' {{=}} ({{수직분수|1 + ''m''|1 - ''m''}})² - ''y''·(''y''² - 3''y'' + 3)}}<br>
{{수학| {{=}} [({{수직분수|1 + ''m''|1 - ''m''}})² - 1] - (''y''³ - 3''y''² + 3''y'' - 1)}}<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|4''m''|(1 - ''m'')²}} - (''y'' - 1)³}} 이런 식이 나오고 이 식을 풀면 y값<br>
{{수학|''y'' {{=}} 1 + ''g'' {{=}} {{수직분수|(1 + ''m'')²|(1 - ''g'' + ''g''²)(1 - ''m'')²}}}} {{수학| (∛{{윗줄|{{수직분수|4''m''|(1 - ''m'')²}}}} {{=}} ''g''로 표기함)}}을 구할 수 있다.

이러면 위 식은<br>
{{수학|(''x''² + 2''y'' - 3)² {{=}} 4({{제곱근||''y''}}''x'' + {{수직분수|1 + ''m''|(1 - ''m''){{제곱근||''y''}}}})²}}<br>
➡️{{수학|(''x''² + 2''g'' - 1)² {{=}} 4({{제곱근||1 + ''g''}}''x'' + {{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}})²}}<br>
로 바뀌고 여기에 루트를 적용하면<br>
{{수학|''x''² + 2''g'' - 1 {{=}} ±2({{제곱근||1 + ''g''}}''x'' + {{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}})}}가 나온다.

이놈도 아까처럼 m = 0을 넣자. 그럼 s = {{수직분수|1|2}}이므로 x = 3일테고 g = 0이니 이것들을 집어넣어 확인하면 양수부호가 나와야 한다.

고로 위 식은<br>
{{수학|''x''² + 2''g'' - 1 {{=}} 2{{제곱근||1 + ''g''}}''x'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}}<br>
으로 쓰이고 정리하면<br>
{{수학|''x''² - 2{{제곱근||1 + ''g''}}''x'' - (1 - 2''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}) {{=}} 0}}<br>
으로 나오며 이것을 2차방정식 근의공식에다 넣으면<br>
{{수학|''x'' {{=}} {{제곱근||1 + ''g''}} + {{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}}}}(m = 0일때 x = 3이 되야 하니까)임을 알 수 있다.

그 다음 s = {{수직분수|x - 1|x + 1}}을 s² + c² = 1, d² + ms² = 1에 대입해 나머지 값들을 구하자.<br>
먼저 c는 아래와 같은 과정으로 쉽게 구할 수 있다.<br>
{{수학|''c''² {{=}} 1 - ''s''²}}<br>
{{수학|{{=}} 1 - ({{수직분수|''x'' - 1|''x'' + 1}})²}}<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|(''x'' + 1)² - (''x'' - 1)²|(''x'' + 1)²}}}}<br>
{{수학|{{=}} {{수직분수|4''x''|(''x'' + 1)²}}}}<br>
➡️{{수학|''c'' {{=}} {{수직분수|2{{제곱근||''x''}}|''x'' + 1}}}}

다음은 d를 구할 건데 이건 좀 어렵다.<br>
먼저 x를 제곱해보면<br>
{{수학|''x''² {{=}} ({{제곱근||1 + ''g''}} + {{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}})²}}<br>
{{수학|{{=}} (1 + ''g'') + (2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}})}} {{수학|+ 2{{제곱근||1 + ''g''}}·{{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}}}}<br>
{{수학|{{=}} 3 + 2({{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}} + {{제곱근||1 + ''g''}}{{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}})}}<br>
이고 여기서<br>
{{수학|''z'' {{=}} {{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}} + {{제곱근||1 + ''g''}}{{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}}}}<br>
로 놓아<br>
{{수학|''x''² {{=}} 3 + 2''z''}}<br>
으로 쓰자.

그 다음 z를 제곱하면 아래와 같다 ㅇ<br>
{{수학|''z''² {{=}} ({{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}} + {{제곱근||1 + ''g''}}{{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}})²}}<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''g'' + ''g''²) + (1 + ''g'')(2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}})}} {{수학|+ 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}·{{제곱근||1 + ''g''}}{{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}}}}<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''g'' + ''g''²) + (2 + ''g'' - ''g''²)}} {{수학|+ 2{{제곱근||(1 - ''g'' + ''g''²)(1 + ''g'')}} ({{제곱근||1 + ''g''}} + {{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}})}}<br>
{{수학|{{=}} 3 + 2{{제곱근||1 + ''g''³}}''x''}}<br>
{{수학|{{=}} 3 + 2''x''{{수직분수|1 + ''m''|1 - ''m''}}}}<br>
➡️{{수학|2(1 + ''m'')''x'' {{=}} (1 - ''m'')(''z''² - 3)}}

이 식들을 가지고 (x + 1)²d²를 계산하면<br>
{{수학|(''x'' + 1)²''d''²}}<br>
{{수학|{{=}} (''x'' + 1)²(1 - ''ms''²)}}<br>
{{수학|{{=}} (''x'' + 1)² - ''m''(''x'' - 1)²}}<br>
{{수학|{{=}} (''x''² + 2''x'' + 1) - ''m''(''x''² - 2''x'' + 1)}}<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''m'')(''x''² + 1) + 2(1 + ''m'')''x''}}<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''m'')(2''z'' + 4) + (1 - ''m'')(''z''² - 3)}}<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''m'')(''z''² + 2''z'' + 1)}}<br>
{{수학|{{=}} (1 - ''m'')(''z'' + 1)²}} 이므로<br>
{{수학|''d'' {{=}} {{제곱근||1 - ''m''}}{{수직분수|''z'' + 1|''x'' + 1}}}}<br>
{{수학|{{=}} {{제곱근||1 - ''m''}}{{수직분수|2''z'' + 2|2(''x'' + 1)}}}}<br>
{{수학|{{=}} {{제곱근||1 - ''m''}}{{수직분수|(''x''² - 3) + 2|2(''x'' + 1)}}}}<br>
{{수학|{{=}} {{제곱근||1 - ''m''}}{{수직분수|''x''² - 1|2(''x'' + 1)}}}}<br>
{{수학|{{=}} {{제곱근||1 - ''m''}}{{수직분수|''x'' - 1|2}}}}<br>
임을 알 수 있다.

정리하면
 {{수학|sn ({{수직분수|''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|''x'' - 1|''x'' + 1}}}}
 {{수학|cn ({{수직분수|''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|2{{제곱근||''x''}}|''x'' + 1}}}}
 {{수학|dn ({{수직분수|''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} {{제곱근||1 - ''m''}} {{수직분수|''x'' - 1|2}}}}
 {{수학| ※ 여기서 ''g'' {{=}} {{제곱근|3|{{수직분수|4''m''|(1 - ''m'')²}}}},}} {{수학|''x'' {{=}} {{제곱근||1 + ''g''}} + {{제곱근||2 - ''g'' + 2{{제곱근||1 - ''g'' + ''g''²}}}}이다.}}
이다.

그 다음 합공식에 α = K(m)하고 β = -{{수직분수|K(m)|3}}을 넣으면
 {{수학|sn ({{수직분수|2''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} }}
 {{수학|cn ({{수직분수|2''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|2|''x'' + 1}}}}
 {{수학|dn ({{수직분수|2''K''(''m'')|3}}{{!}}''m'') {{=}} {{수직분수|2|''x'' - 1}}}}
임을 알 수 있다.

=== φ = {{수직분수|nK(m)|5}}일때 ===
{{미완성}}
{{위험}}
{{6}}
6차방정식 {{수학|4''mu''⁶ + 8''mu''⁵ + 2(1 - ''m'')²''u'' - (1 - ''m'')² {{=}} 0}}을 풀어야 한다.

== 급수 표현 ==
이 내용 이해하려면 [[복소해석학]] 알아야 한다.
{{미완성}}

== 여담 ==
다른 표현으론 m=k²일 때 {{수학|sn (''φ'';''k'')}}로 표기하기도 한다.

[[진자]]운동 하고 [[블랙홀]] 주위 궤도 계산하면 나온다.

괄호가 3개 붙은 {{수학|({{수직분수|d''y''|d''φ''}})² {{=}} (1 - ''y''²)(1 - ''m'' + ''my''²)(1 - ''n'' + ''ny''²)}}에다 {{수학|''y'' {{=}} {{수직분수|{{제곱근||1 - ''n''}} ''u''|{{제곱근||1 - ''nu''²}}}}}}을 넣으면 cn 함수의 미방으로 바꿀수 있다.

{{변태}}
{{병신}}
섹코비 타원 함수 아니다. ㅄ들아.

== 관련 문서 ==
* [[함수]]
** [[삼각함수]] - 이 함수가 삼각함수 확장한 거다
** [[타원적분]]
** [[바이어슈트라스 타원함수]]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_elliptic_functions 영문위백 야코비 타원함수 항목]