야코비 타원함수

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야코비 타원함수은(는) 과학입니다.

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미분방정식 $(d y / d φ)² = (1 - y ²)(1 - my ²)$ 을 풀자 그럼
$φ = \int 0 y d u / \sqrt (1 - u ²)(1 - mu ²) = （ 정의 ） Asn y$
이런 식이 나옴.
그럼 이 식을 y에 관하여 쓴 $y = sn φ$ 에서 $sn φ$ 을 야코비 타원함수라 하고 엄밀히 표기할 땐 $sn (φ | m)$ 이라고 씀.

그 다음 $y = sin ϕ$ 로 쓴 뒤 저 적분에다 $u = sin θ$ 로 치환적분을 하여

 $φ = \int 0 ϕ d θ / \sqrt 1 - m sin² θ$

로 놓으면서 세 가지 야코비 함수

 $sn (φ | m) = sin ϕ$           $(= y)$ 
 $cn (φ | m) = cos ϕ$           $(= \sqrt 1 - y ²)$ 
 $dn (φ | m) = \sqrt 1 - m sin² ϕ (= \sqrt 1 - my ²)$

를 정의할 수 있다. 참고로 tan는 dn이 아니고 sc (= sn/cn)에 해당함 ㅇㅇ

위 글상자 2개의 정의를 정확하게 아는 것이 중요하지 ㅇ

그리고 이와는 별도로

$Am (φ | m) = ϕ$

이 놈도 정의하는데 그 이유는 야코비 함수 적분할 때 이놈이 2종 타원적분하고 묶인채로 주구장창 나온다 ㅇㅇ 이걸 통해 야코비 함수들을 표현하면

$sn (φ | m) = sin\circAm (φ | m)$
$cn (φ | m) = cos\circAm (φ | m)$
$dn (φ | m) = \sqrt 1 - m sin²\circAm (φ | m)$

이렇게 된다. 여기서 ∘는 함수 합성 기호를 뜻한다.

그리고 삼각함수 제곱한거를 더하면 1이 되듯이

 $cn² + sn² = 1$ 
 $dn² + m sn² = 1$ 
 $dn² - m cn² = 1 - m$

얘들도 비슷한 공식을 가지고 있음.

그리고 타원함수가 분수로 나타날땐

$갑을 (φ | m) = 갑n (φ | m) / 을n (φ | m)$
$n병 (φ | m) = 1 / 병n (φ | m)$

이렇게 표기한다. 예를들면 cd = cn/dn 이런식

미분공식

저기 있는 적분을 $φ$ 에 대해 미분하면
$1 = d ϕ / d φ 1 / \sqrt 1 - m sin² ϕ = d ϕ / d φ 1 / dn (φ | m)$ 이고 정리하면
$d ϕ / d φ = dn (φ | m)$ 임 ㅇㅇ

이것을 써서 sn cn dn을 $d / d φ$ 로 미분하고 난 뒤 아까 얻은 $d ϕ / d φ$ 을 대입하면

 $d / d φ sn (φ | m) = cn\cdotdn (φ | m)$ 
 $d / d φ cn (φ | m) = -sn\cdotdn (φ | m)$ 
 $d / d φ dn (φ | m) = - m sn\cdotcn (φ | m)$

하고

$d / d φ Am (φ | m) = dn (φ | m)$

이 나옴 ㅇㅇ

참고로 $cn\cdotdn (φ | m)$ 은 $cn (φ | m) \times dn (φ | m)$ 를 줄여서 쓴 거임

아 그리고 저 미분공식을 제곱하고 미분방정식 꼴로 표현하면

 $y = sn (φ | m)$ ➡️ $(d y / d φ)² = (1 - y ²)(1 - my ²)$ 
 $y = cn (φ | m)$ ➡️ $(d y / d φ)² = (1 - y ²)(1 - m + my ²)$ 
 $y = dn (φ | m)$ ➡️ $(d y / d φ)² = (1 - y ²)(m - 1 + y ²)$

으로 쓸 수 있음

그리고 이 식을 미분하여 2계 편미방은

 $y = sn (φ | m)$ ➡️ $d² y / d φ ² = - (1 + m) y + 2 my ³$ 
 $y = cn (φ | m)$ ➡️ $d² y / d φ ² = (2 m - 1) y - 2 my ³$ 
 $y = dn (φ | m)$ ➡️ $d² y / d φ ² = (2 - m) y - 2 y ³$

임을 알 수 있다.

정의역이 허수면 어떻게 되냐?

cn에 대한 미분방정식인
$y = cn (x | m)$ ➡️ $(d y / d x)² = (1 - y ²)(1 - m + my ²)$ (변수를 x로 잠시 바꿈)
에다 $x = iφ$ 를 대입하여
$y = cn (iφ | m)$
➡️ $(d y / d iφ)² = (1 - y ²)(1 - m + my ²)$
➡️ $(d y / d φ)² = (y ² - 1)(1 - m + my ²)$ (허수단위 꺼내고 양변에 -1 곱함)
➡️ $(1 / y² d y / d φ)² = y ² - 1 / y² ㆍ 1 - m + my ² / y²$ (양변을 y⁴로 나눔)
➡️ $(d / d φ 1 / y)² = (1 - 1 / y ²)(m + 1 - m / y ²)$ 으로 바꿀 수 있음

그럼 이 방정식 해가
$1 / y = cn (φ + φ 0 |1 - m)$ 으로 나오는데 여기서 $φ = 0$ 을 대입하면 cn(iㆍ0|m)=cn(0|m)=1임에 따라 $1 = cn (φ 0 |1 - m)$ 이니 $φ 0 = 0$ 임

따라서 $cn (iφ | m) = nc (φ |1 - m)$ 이고 이 식을 sn cn dn 제곱관계식에다 넣어 sn dn도 유도하고 정리하면

 $sn (iφ | m) = i sc (φ |1 - m)$ 
 $cn (iφ | m) = nc (φ |1 - m)$ 
 $dn (iφ | m) = dc (φ |1 - m)$

임을 알 수 있음.

주기 구하기

그럼 이 함수 주기를 구해보자 저 적분에서 $ϕ$ 자리에다 $ϕ + π$ 를 넣으면
$\int 0 ϕ + π d θ / \sqrt 1 - m sin² θ$
$= \int π ϕ + π d θ / \sqrt 1 - m sin² θ + \int 0 π d θ / \sqrt 1 - m sin² θ$
$= \int 0 ϕ d θ / \sqrt 1 - m sin² θ + 2 \int 0 π/2 d θ / \sqrt 1 - m sin² θ$
$= φ + 2 K (m)$ 을 얻음 ㅇㅇ 이걸 아까 타원함수에다 넣고 정리하면

 $sn (φ + 2 K (m)| m) = -sn (φ | m)$ 
 $cn (φ + 2 K (m)| m) = -cn (φ | m)$ 
 $dn (φ + 2 K (m)| m) = dn (φ | m)$

임을 알 수 있음. 여기서 K(m)은 제1 종 완전 타원적분 함수임

그리고 $φ + 2 iK (1 - m) = i ㆍ[- iφ + 2 K (1 - m)]$ 으로 놓고 아까 구한 허수 관계식을 사용하면

 $sn (φ + 2 iK (1 - m)| m) = sn (φ | m)$ 
 $cn (φ + 2 iK (1 - m)| m) = -cn (φ | m)$ 
 $dn (φ + 2 iK (1 - m)| m) = -dn (φ | m)$

인것도 알 수 있음 ㅇㅇ

m이 분수, 음수일 때

분수일 때

$y = dn (φ | 1 / m)$ 의 방정식을 쓰면
$(d y / d φ)² = (1 - y ²)(1 / m - 1 + y ²)$
$= 1 / m (1 - y ²)(1 - m + my ²)$ 이고 이는 cn에 대한 미분방정식 이므로
$y = cn (φ + φ 0 / \sqrt m | m)$ 을 얻음

그 다음 아까 한 것 처럼 φ=0을 대입해 보면 여기서도 φ₀=0이어야 하므로 $dn (φ | 1 / m) = cn (φ / \sqrt m | m)$ 임을 알 수 있음

이제 이걸 제곱항등식을 써서 sn cn것도 구하고 정리하면

 $sn (φ | 1 / m) = \sqrt m sn (φ / \sqrt m | m)$ 
 $cn (φ | 1 / m) = dn (φ / \sqrt m | m)$ 
 $dn (φ | 1 / m) = cn (φ / \sqrt m | m)$

임 ㅇㅇ

음수일 때

$y = dn (φ |- m)$ 의 방정식을 쓰면
$(d y / d φ)² = (1 - y ²)(- m - 1 + y ²)$
$= (y ² - 1)(- y ² + 1 + m)$ 임
이제 이걸 아까 허수일 때 처럼 양변을 y⁴으로 나누면
$(d / d φ 1 / y)² = (1 - 1 / y ²)(-1 + 1 + m / y ²)$
$= (1 + m)(1 - 1 / y ²)(- 1 / 1 + m + 1 / y ²)$
$= (1 + m)(1 - 1 / y ²)(m / 1 + m -1 + 1 / y ²)$ 이므로
$1 / y = dn (\sqrt 1 + m (φ + φ 0)| m / 1 + m)$ 이 나옴 ㅇ

여기서도 φ=0을 대입해 확인하면 φ₀=0이니 $dn (φ |- m) = nd (\sqrt 1 + m φ | m / 1 + m)$ 임을 알 수 있음 ㅇ

이제 제곱항등식으로 sn cn것도 구하면

 $sn (φ |- m) = 1 / \sqrt 1 + m sd (\sqrt 1 + m φ | m / 1 + m)$ 
 $cn (φ |- m) = cd (\sqrt 1 + m φ | m / 1 + m)$ 
 $dn (φ |- m) = nd (\sqrt 1 + m φ | m / 1 + m)$

임을 알 수 있음 ㅇ

4분주기만큼 평행이동하면?

실수주기

 $sn (φ \pm K (m)| m) = \pmcd (φ | m)$ 
 $cn (φ \pm K (m)| m) = \mp\sqrt 1 - m sd (φ | m)$ 
 $dn (φ \pm K (m)| m) = \sqrt 1 - m nd (φ | m)$

허수주기

 $sn (φ \pm iK (1 - m)| m) = ns (φ | m) / \sqrt m$ 
 $cn (φ \pm iK (1 - m)| m) = \mp i / \sqrt m ds (φ | m)$ 
 $dn (φ \pm iK (1 - m)| m) = \mp i cs (φ | m)$

둘 다 복호동순이다.
증명은 아래 합공식에 K(m) 넣으면 된다.

합 공식

위험!

이 문서는 내용이(가) 너무 길어서 읽다 보면 너는 죽게 됩니다. 삼가 고(故) 너의 띵복을 오른손으로 비비고~ 왼손으로 비비고~ 아무튼 야무지게 빕니다.

주의. 이 문단에선 m을 생략했습니다.

내용이 존나 길어서 sn (φ|m)을 sn φ나 sn (φ) 따위로 표기하니 머가리가 터질 너님의 띵복을 액션빔

주의. 이 문서는 너무 난해합니다.

이 문서는 내용이 길거나 어렵거나, 병신 같이 싸지른 문서라서 정상인마저도 이해하기 어려운 문서입니다.

존나 작은 c에 대해 미분을
$d / d x f (x) ≒ f (x + c) - f (x) / c$ 로 근사할 수 있으니 이 식을 변형하여
$f (x + c) ≒ f (x) + c d / d x f (x)$ 로도 쓸 수 있음 ㅇ

이에 따라 야코비함수 미분공식을 써서 존나 작은 β에 대해
┏ $sn (α + β) ≒ sn (α) + β \times cn\cdotdn (α)$
┃ $cn (α + β) ≒ cn (α) - β \times sn\cdotdn (α)$
┗ $dn (α + β) ≒ dn (α) - β \times m sn\cdotcn (α)$
이렇게 쓸 수 있고 이를 충분히 큰 β에 대해 일반화 시킬 때 이 식 좌변이 대칭식 형태이고 또 야코비함수 제곱항등식을 만족시킴을 고려해
(1) $M (α, β) sn (α + β) = sn α cn\cdotdn β + cn\cdotdn α sn β$
(2) $M (α, β) cn (α + β) = C (α, β) cn α cn β - ¹/ C (α, β) sn\cdotdn α sn\cdotdn β$
(3) $M (α, β) dn (α + β) = D (α, β) dn α dn β - m / D (α, β) sn\cdotcn α sn\cdotcn β$
으로 쓸 수 있음 ㅇㅇ

참고로 M, C, D는 알파하고 베타 교환해도 똑같은 값이고 이들은 1 + m sn α sn β × (나머지 항)을 만족한다.

이제 (2)² + (1)²과 (3)² + m × (1)²을 계산하자.

(2)² + (1)²을 계산하면
$M ²(α, β) =$
$= [M (α, β) cn (α + β)]² + [M (α, β) sn (α + β)]²$
$= C ²(α, β) cn² α cn² β + sn² α cn²\cdotdn² β$ $+ cn²\cdotdn² α sn² β + ¹/ C ² (α, β) sn²\cdotdn² α sn²\cdotdn² β$
$= (cn² α + sn² α dn² β)(cn² β + dn² α sn² β)$ $+ (C ²(α, β) - 1) cn² α cn² β + (¹/ C ² - 1)(α, β) sn²\cdotdn² α sn²\cdotdn² β$
$= (1 - m sn² α sn² β)²$ $+ 나머지항1$ 이고

(3)² + m × (1)²을 계산하면
$M ²(α, β)$
$= [M (α, β) dn (α + β)]² + m [M (α, β) sn (α + β)]²$
$= D ²(α, β) dn² α dn² β + m sn² α cn²\cdotdn² β$ $+ m cn²\cdotdn² α sn² β + m ² / D ² (α, β) sn²\cdotcn² α sn²\cdotcn² β$
$= (dn² α + m sn² α cn² β)(dn² β + m cn² α sn² β)$ $+ (D ²(α, β) - 1) dn² α dn² β + (m ² / D ² - 1)(α, β) sn²\cdotcn² α sn²\cdotcn² β$
$= (1 - m sn² α sn² β)²$ $+ 나머지항2$ 이다.

그 다음 $M (α, β) = (1 - m sn² α sn² β) M （ ~ ） (α, β)$ 으로 놓아 sn합공식을
$M （ ~ ） (α, β) sn (α + β) = sn α cn\cdotdn β + cn\cdotdn α sn β / 1 - m sn² α sn² β$ 로 쓴 뒤 이 식을 α에 대해 편미분하자.
그럼
$\partial / \partialα M （ ~ ） (α, β) sn (α + β)$
$= \partial / \partialα sn α cn\cdotdn β + cn\cdotdn α sn β / 1 - m sn² α sn² β$
$= cn\cdotdn α cn\cdotdn β - sn\cdot(dn² + m cn²) α sn β / 1 - m sn² α sn² β$ $+ 2 m sn\cdotcn\cdotdn α sn² β \cdot sn α cn\cdotdn β - cn\cdotdn α sn β / (1 - m sn² α sn² β)²$ (첫째는 분자, 둘째는 분모 미분)
$= cn\cdotdn α cn\cdotdn β - sn \cdot(dn² + m cn²) α sn β / 1 - m sn² α sn² β$ $+ 2 m sn²\cdot cn\cdotdn α sn²\cdot cn\cdotdn β - sn \cdotcn²\cdotdn² α sn²\cdot sn β / (1 - m sn² α sn² β)²$ (같은 색으로 칠한 것 끼리 묶고 더하면 됨)
$= cn\cdotdn α cn\cdotdn β (1 - m sn² α sn² β) + 2 m sn² α sn² β / (1 - m sn² α sn² β)²$ $- sn α sn β (1 - m sn² α sn² β)(dn² + m cn²) α + 2 m cn²\cdotdn² α sn² β / (1 - m sn² α sn² β)²$
$= (1 + m sn² α sn² β) cn\cdotdn α cn\cdotdn β - (dn² α dn² β + m cn² α cn² β) sn α sn β / (1 - m sn² α sn² β)²$ (인수분해를 하자)
$= cn α cn β - sn\cdotdn α sn\cdotdn β / 1 - m sn² α sn² β ㆍ dn α dn β - m sn\cdotcn α sn\cdotcn β / 1 - m sn² α sn² β$ 이 나온다.

여기서 아까전에 나왔던 나머지항도 없앨 겸 M（~）=C=D=1로 놓을 경우 위 식은 $\partial / \partialα sn (α + β) = cn (α + β) dn (α + β)$ 이 되어 미분공식을 만족하게 되고 cn이랑 dn도 제곱항등식 미분을 통해 미분공식을 만족함을 알게 됨 ㅇ

이에 따라

 $sn (α + β | m) = sn (α | m) cn\cdotdn (β | m) + cn\cdotdn (α | m) sn (β | m) / 1 - m sn² (α | m) sn² (β | m)$ 
 $cn (α + β | m) = cn (α | m) cn (β | m) - sn\cdotdn (α | m) sn\cdotdn (β | m) / 1 - m sn² (α | m) sn² (β | m)$ 
 $dn (α + β | m) = dn (α | m) dn (β | m) - m sn\cdotcn (α | m) sn\cdotcn (β | m) / 1 - m sn² (α | m) sn² (β | m)$

임을 알 수 있음 ㅇㅇ

2배각 공식

주2! 2 문서는 콩에 관한 것을 다룹니다.

지나친 드립은 노잼2 되니 豆 번만 칩시다. 지나친 드립은 노잼2 되니 豆 번만 칩시다.
어? 왜 豆 번 써져요? 어? 왜 豆 번 써져요?
야 쓰레기 작은 고추의 매운 맛을 보여주마! 폭풍저그 홍진호가 간다!
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완전 상쾌합니다!!!

ㄴ 아까 한거에 비하면

cndn 덧셈공식에다 α=β=φ를 대입하면
$dn 2 φ = dn² φ - m sn²\cdotcn² φ / 1 - m sn⁴ φ$
$cn 2 φ = cn² φ - sn²\cdotdn² φ / 1 - m sn⁴ φ$
이잖음

dn은 1을 더하고 cn은 1에서 빼면
dn: $1 + dn 2 φ$
$= [1 - m sn²\cdot sn² φ] + [dn² φ - m sn²\cdot cn² φ] / 1 - m sn⁴ φ$ (같은 색 더하자)
$= 1 - m sn²\cdot 1 φ + dn² φ / 1 - m sn⁴ φ$
$= 2 dn² φ / 1 - m sn⁴ φ$

cn: $1 - cn 2 φ$
$= [1 - m sn⁴ φ] - [cn² φ - sn²\cdotdn² φ] / 1 - m sn⁴ φ$
$= sn² φ - m sn⁴ φ + sn²\cdotdn² φ / 1 - m sn⁴ φ$
$= 2 sn²\cdotdn² φ / 1 - m sn⁴ φ$
이니 1-cn을 1+dn으로 나누면
$sn² φ = 1 - cn 2 φ / 1 + dn 2 φ$ 을 얻음 ㅇㅇ

이제 제곱항등식으로 cn, dn 것도 구하면

 $sn² (φ | m) = 1 - cn (2 φ | m) / 1 + dn (2 φ | m)$ 
 $cn² (φ | m) = (dn + cn) (2 φ | m) / 1 + dn (2 φ | m)$ 
 $dn² (φ | m) = 1 - m + (dn + m cn) (2 φ | m) / 1 + dn (2 φ | m)$

을 얻음 ㅇㅇ

적분 공식

$\int d φ 갑n\cdot을n\cdot f (병n) (φ | m)$ 꼴일 때

이건 간단히 병n = x로 치환하여

 $\int d φ sn\cdotdn\cdot f (cn) (φ | m) = - \int x = cn (φ | m) d x f (x)$ 
 $\int d φ cn\cdotdn\cdot f (sn) (φ | m) = \int x = sn (φ | m) d x f (x)$ 
 $\int d φ sn\cdotcn\cdot f (dn) (φ | m) = - \int x = dn (φ | m) d x / m f (x)$

이렇게 하면 된다.

$\int d φ 갑n\cdot f (을n, 병n) (φ | m)$ 꼴일 때

ㄴ참고로 $갑n\cdot f (을n, 병n) (φ | m)$ $= 갑n (φ | m)\times f (을n (φ | m), 병n (φ | m))$ 을 뜻한다.

이에 따라 위 적분은
$\int d φ cn\cdot f (sn, dn) (φ | m) = \int d θ / \sqrt m f (sin θ / \sqrt m, cos θ)$
으로 바뀌고 이제 이 적분을 푼 뒤 치환한 변수를 도로 원상복귀 시키면 됨 ㅇ

f(x, y) = 1인 경우를 예로 들면
$\int d φ cn (φ | m)$
$= 1 / \sqrt m \int d θ (1)$ (치환적분)
$= θ / \sqrt m + 적분상수$ (적분계산)
$= Asin [\sqrt m sn (φ | m)] / \sqrt m + 적분상수$ (원상복귀)
이와 같은 과정으로 하면 된다 ㅇㅇ

2. 그 다음 sn에 대한거 $\int d φ sn\cdot f (cn, dn) (φ | m)$ 을 풀기 위해 아까와는 좀 다르게
$\sqrt m cn (φ | m) = \sqrt 1 - m sinh η$ , $dn (φ | m) = \sqrt 1 - m cosh η$ 로 치환을 하고
$-\sqrt m sn\cdotdn (φ | m) d φ / d η = \sqrt 1 - m cosh η$
➡️ $-\sqrt m sn (φ | m) d φ / d η = 1$ 이니
미분형식은 $d φ sn (φ | m) = - d η / \sqrt m$ 로 치환하면 위 적분은
$\int d φ sn\cdot f (cn, dn) (φ | m)$ $= - \int d η / \sqrt m f (\sqrt 1 - m sinh η / \sqrt m, \sqrt 1 - m cosh η)$ 으로 바뀌니까 이거 풀고 다시 원상복귀 ㄱㄱ

3. 마지막으로 dn에 관한 거 $\int d φ dn\cdot f (sn, cn) (φ | m)$ 을 풀 때는
$Am (φ | m) = θ$ 으로 치환하면
$dn (φ | m) d φ = d θ$ 이므로 위 적분은
$\int d φ dn\cdot f (sn, cn) (φ | m)$ $= \int d θ f (sin θ, cos θ)$ 으로 바뀌니 이거 풀고 다시 원상복귀 하면됨 ㅇ

따라서

 $\int d φ sn\cdot f (cn, dn) (φ | m) = - \int η = Asinh [\sqrt m / 1 - m cn (φ | m)] d η / \sqrt m f (\sqrt 1 - m sinh η / \sqrt m, \sqrt 1 - m cosh η)$ 
 $\int d φ cn\cdot f (sn, dn) (φ | m) = \int θ = Asin [\sqrt m sn (φ | m)] d θ / \sqrt m f (sin θ / \sqrt m, cos θ)$ 
 $\int d φ dn\cdot f (sn, cn) (φ | m) = \int θ = Am (φ | m) d θ f (sin θ, cos θ)$

이렇게 치환해서 삼각함수 적분하면 된다 ㅇㅇ

f가 유리함수이기만 하면 적분 ㅆㄱㄴ이다 ㅇㄱㄹㅇ

특별한 경우

sn cn dn을 각각 적분한 거

 $\int d φ sn (φ | m) = - Asinh [\sqrt m / 1 - m cn (φ | m)] / \sqrt m + 적분상수$ 
 $\int d φ cn (φ | m) = Asin [\sqrt m sn (φ | m)] / \sqrt m + 적분상수$ 
 $\int d φ dn (φ | m) = Am (φ | m) + 적분상수$

세제곱꼴

 $\int d φ sn³ (φ | m) = cn\cdotdn (φ | m) / 2 m - (1 + 1 / m) Asinh [\sqrt m / 1 - m cn (φ | m)] / 2\sqrt m + 적분상수$ 
 $\int d φ cn\cdotsn² (φ | m) = 1 / \sqrt m Asin [\sqrt m sn (φ | m)] - sn\cdotdn (φ | m) / 2 m + 적분상수$ 
 $\int d φ dn\cdotsn² (φ | m) = Am (φ | m) - sn\cdotcn (φ | m) / 2 + 적분상수$

역수꼴일 때

 $\int d φ ns (φ | m) = - Atanh\circcd (φ | m) + 적분상수$ 
 $\int d φ nc (φ | m) = Atanh [\sqrt 1 - m sd (φ | m)] / \sqrt 1 - m + 적분상수$ 
 $\int d φ nd (φ | m) = Am (φ | m) - Atan m sn\cdotcn (φ | m) / \sqrt 1 - m + dn² (φ | m) / \sqrt 1 - m + 적분상수$

등등

이 외의 경우

∫dφ dn² (φ|m) = E∘Am (φ|m) + 적분상수
- $\int d φ sn² (φ | m) = φ - E \circAm (φ | m) / m + 적분상수$
$2(1 + n) \int d φ / [1 + n sn² (φ | m)]²$ $= (2 + n + m 1 + n / m + n) \int d φ / 1 + n sn² (φ | m) + n / m + n [n sn\cdotcn\cdotdn (φ | m) / 1 + n sn² (φ | m) + E \circAm (φ | m)] - φ$ ㄴ블랙홀 궤도 계산할 때 쓴다.

등등

풀이

특수각

기본

이 문서가 설명하는 게임은 존나 쉽거나 보통입니다.

이 게임의 난이도는 쉽거나 보통이어서 아무리 너의 컨트롤이 씹창이거나 머가리가 멍청하더라도 클리어가 가능합니다.
이런 게임을 설치하였을 경우 초딩이거나 병신이 아닌 이상 올 클리어는 가능합니다. 그러니 빨리 클리어하세요!

φ = 0일 때

 $sn (0| m) = 0$ 
 $cn (0| m) = 1$ 
 $dn (0| m) = 1$

φ = K(m)일 때

 $sn (K (m)| m) = 1$ 
 $cn (K (m)| m) = 0$ 
 $dn (K (m)| m) = \sqrt 1 - m$

φ = K(m)/2ⁿ꼴일 땐 2배각 공식을 거듭해서 구하면 된다.
예를 들면 φ=K(m)/2일 때는

 $sn (K (m) / 2 | m) = 1 / \sqrt 1 + \sqrt 1 - m$ 
 $cn (K (m) / 2 | m) = \sqrt \sqrt 1 - m / 1 + \sqrt 1 - m$ 
 $dn (K (m) / 2 | m) = 4 \sqrt 1 - m$

이다.

φ = K(m)/3일 때

위험!

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그 다음 s₂c₂d₂를 scd에 대한 식으로 바꾸기 위해 합공식에 α = β = K(m)/3를 넣어 얻은
┏ $s 2 = 2 scd / 1 - ms ⁴$
┃ $c 2 = c ² - s ² d ² / 1 - ms ⁴$
┗ $d 2 = d ² - ms ² c ² / 1 - ms ⁴$
이 놈들을 위 방정식에다 대입하면
$0 = cc 2 - sds 2 d 2$
$= c \cdot c ² - s ² d ² / 1 - ms ⁴ - sd \cdot 2 scd / 1 - ms ⁴ \cdot d ² - ms ² c ² / 1 - ms ⁴$
이렇게 바꿀수 있다.

그리고 양변에다 (1 - ms⁴)²/c를 곱하고 위 식을 계산하면
$0 = (c ² - s ² d ²)(1 - ms ⁴) - 2 s ² d ²(d ² - ms ² c ²)$
$= [(1 - s ²) + (ms ⁴ - ms ⁴) - s ² d ²](1 - ms ⁴)$ $- 2 s ² d ²(d ² - ms ² c ²)$ (파란색 = 1 - ms⁴, 보라색 = -s²d²이고 보라색을 옆쪽 -s²d²와 합치자)
$= [(1 - ms ⁴) - 2 s ² d ²](1 - ms ⁴)$ $- 2 s ² d ²(d ² - ms ² c ²)$ (-2s²d²를 묶어주자)
$= (1 - ms ⁴)² - 2 s ² d ²[(1 - ms ⁴) + (d ² - ms ² c ²)]$ (초록색 더해주자)
$= (1 - ms ⁴)² - 2 s ² d ²(1 - ms ² + d ²)$ (1 - ms² = d²)
$= (1 - ms ⁴)² - 4 s ² d ⁴$ 이고 여기서 우변을 이항하면
$(1 - ms ⁴)² = 4 s ² d ⁴$ 임을 알 수 있고 여기에다 루트를 적용하면
$1 - ms ⁴ = \pm2 sd ²$ 가 나온다.

여기서 잠깐 부호가 뭐가 되야 하는지 알기 위해 m = 0을 넣어보면 K(0) = 90° 임에 따라
$s = sn (90° / 3 |0) = sin 30° = 1 / 2$ 이고
$d² = 1 - 0\cdots² = 1$ 이니 부호가 양수이다.

고로 아까 식에다 루트를 하면 $1 - ms ⁴ = 2 sd ²$ 가 나오게 되고 이놈을 정리하면
4차방정식 $ms ⁴ - 2 ms ³ + 2 s - 1 = 0$ 을 얻는다.

이제 이 식에다 s = x - 1/x + 1을 넣고 (x + 1)⁴을 곱하면
$0 = m (x - 1)⁴ - 2 m (x - 1)³(x + 1)$ $+ 2(x - 1)(x + 1)³ - (x + 1)⁴$
$= m (x ⁴ - 4 x ³ + 6 x ² - 4 x + 1)$ $- 2 m (x ⁴ - 2 x ³ + 2 x - 1) + 2(x ⁴ + 2 x ³ - 2 x - 1)$ $- (x ⁴ + 4 x ³ + 6 x ² + 4 x + 1)$ (취소선 친건 사라짐)
$= (1 - m)(x ⁴ - 6 x ² - 8 1 + m / 1 - m x - 3)$ 을 얻는다

그리고 이 식을 1 - m으로 나눈 다음 이 식 좌변을 완전제곱식으로 바꾸기 위해 식을 변형하면
$x ⁴ - 6 x ² + 9 = 8 1 + m / 1 - m x + 12$
➡️ $x ⁴ + 2(2 y - 3) x ² + (2 y - 3)²$ $= 4[yx ² + 2 1 + m / 1 - m x + (y ² - 3 y + 3)]$ 을 얻고
우변도 완전제곱식으로 만들기 위해 2차방정식 짝수판별식 중근조건을 적용하면
$0 = D = (1 + m / 1 - m)² - y \cdot(y ² - 3 y + 3)$
$= [(1 + m / 1 - m)² - 1] - (y ³ - 3 y ² + 3 y - 1)$
$= 4 m / (1 - m)² - (y - 1)³$ 이런 식이 나오고 이 식을 풀면 y값
$y = 1 + g = (1 + m)² / (1 - g + g ²)(1 - m)²$ $(∛ 4 m / (1 - m)² = g 로 표기함)$ 을 구할 수 있다.

이러면 위 식은
$(x ² + 2 y - 3)² = 4(\sqrt y x + 1 + m / (1 - m)\sqrt y)²$
➡️ $(x ² + 2 g - 1)² = 4(\sqrt 1 + g x + \sqrt 1 - g + g ²)²$
로 바뀌고 여기에 루트를 적용하면
$x ² + 2 g - 1 = \pm2(\sqrt 1 + g x + \sqrt 1 - g + g ²)$ 가 나온다.

이놈도 아까처럼 m = 0을 넣자. 그럼 s = 1/2이므로 x = 3일테고 g = 0이니 이것들을 집어넣어 확인하면 양수부호가 나와야 한다.

고로 위 식은
$x ² + 2 g - 1 = 2\sqrt 1 + g x + 2\sqrt 1 - g + g ²$
으로 쓰이고 정리하면
$x ² - 2\sqrt 1 + g x - (1 - 2 g + 2\sqrt 1 - g + g ²) = 0$
으로 나오며 이것을 2차방정식 근의공식에다 넣으면
$x = \sqrt 1 + g + \sqrt 2 - g + 2\sqrt 1 - g + g ²$ (m = 0일때 x = 3이 되야 하니까)임을 알 수 있다.

그 다음 s = x - 1/x + 1을 s² + c² = 1, d² + ms² = 1에 대입해 나머지 값들을 구하자.
먼저 c는 아래와 같은 과정으로 쉽게 구할 수 있다.
$c ² = 1 - s ²$
$= 1 - (x - 1 / x + 1)²$
$= (x + 1)² - (x - 1)² / (x + 1)²$
$= 4 x / (x + 1)²$
➡️ $c = 2\sqrt x / x + 1$

다음은 d를 구할 건데 이건 좀 어렵다.
먼저 x를 제곱해보면
$x ² = (\sqrt 1 + g + \sqrt 2 - g + 2\sqrt 1 - g + g ²)²$
$= (1 + g) + (2 - g + 2\sqrt 1 - g + g ²)$ $+ 2\sqrt 1 + g \cdot\sqrt 2 - g + 2\sqrt 1 - g + g ²$
$= 3 + 2(\sqrt 1 - g + g ² + \sqrt 1 + g \sqrt 2 - g + 2\sqrt 1 - g + g ²)$
이고 여기서
$z = \sqrt 1 - g + g ² + \sqrt 1 + g \sqrt 2 - g + 2\sqrt 1 - g + g ²$
로 놓아
$x ² = 3 + 2 z$
으로 쓰자.

그 다음 z를 제곱하면 아래와 같다 ㅇ
$z ² = (\sqrt 1 - g + g ² + \sqrt 1 + g \sqrt 2 - g + 2\sqrt 1 - g + g ²)²$
$= (1 - g + g ²) + (1 + g)(2 - g + 2\sqrt 1 - g + g ²)$ $+ 2\sqrt 1 - g + g ² \cdot\sqrt 1 + g \sqrt 2 - g + 2\sqrt 1 - g + g ²$
$= (1 - g + g ²) + (2 + g - g ²)$ $+ 2\sqrt (1 - g + g ²)(1 + g) (\sqrt 1 + g + \sqrt 2 - g + 2\sqrt 1 - g + g ²)$
$= 3 + 2\sqrt 1 + g ³ x$
$= 3 + 2 x 1 + m / 1 - m$
➡️ $2(1 + m) x = (1 - m)(z ² - 3)$

이 식들을 가지고 (x + 1)²d²를 계산하면
$(x + 1)² d ²$
$= (x + 1)²(1 - ms ²)$
$= (x + 1)² - m (x - 1)²$
$= (x ² + 2 x + 1) - m (x ² - 2 x + 1)$
$= (1 - m)(x ² + 1) + 2(1 + m) x$
$= (1 - m)(2 z + 4) + (1 - m)(z ² - 3)$
$= (1 - m)(z ² + 2 z + 1)$
$= (1 - m)(z + 1)²$ 이므로
$d = \sqrt 1 - m z + 1 / x + 1$
$= \sqrt 1 - m 2 z + 2 / 2(x + 1)$
$= \sqrt 1 - m (x ² - 3) + 2 / 2(x + 1)$
$= \sqrt 1 - m x ² - 1 / 2(x + 1)$
$= \sqrt 1 - m x - 1 / 2$
임을 알 수 있다.

정리하면

 $sn (K (m) / 3 | m) = x - 1 / x + 1$ 
 $cn (K (m) / 3 | m) = 2\sqrt x / x + 1$ 
 $dn (K (m) / 3 | m) = \sqrt 1 - m x - 1 / 2$ 
 $※ 여기서 g = 3 \sqrt 4 m / (1 - m)²,$   $x = \sqrt 1 + g + \sqrt 2 - g + 2\sqrt 1 - g + g ² 이다.$

이다.

그 다음 합공식에 α = K(m)하고 β = -K(m)/3을 넣으면

 $sn (2 K (m) / 3 | m) =$ 
 $cn (2 K (m) / 3 | m) = 2 / x + 1$ 
 $dn (2 K (m) / 3 | m) = 2 / x - 1$

임을 알 수 있다.

φ = nK(m)/5일때

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육각형에 너무 심취하지 마십시오!
맛있다고 막 먹으면 肉일 만에 파오후가 될 수도 있으니 한 번만 칩시다.
어 왜 肉 번 안 써져요?

6차방정식 $4 mu ⁶ + 8 mu ⁵ + 2(1 - m)² u - (1 - m)² = 0$ 을 풀어야 한다.

급수 표현

이 내용 이해하려면 복소해석학 알아야 한다.

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여담

다른 표현으론 m=k²일 때 $sn (φ; k)$ 로 표기하기도 한다.

진자운동 하고 블랙홀 주위 궤도 계산하면 나온다.

괄호가 3개 붙은 $(d y / d φ)² = (1 - y ²)(1 - m + my ²)(1 - n + ny ²)$ 에다 $y = \sqrt 1 - n u / \sqrt 1 - nu ²$ 을 넣으면 cn 함수의 미방으로 바꿀수 있다.

주의! 이 문서는 변태 새끼에 대해서 다룹니다.

이 문서가 다루는 대상은 존나 변태 새끼입니다.

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그냥 개좆병신 그 자체입니다.

섹코비 타원 함수 아니다. ㅄ들아.